Quand une quantité change par paliers
Certaines quantités ne changent pas continuellement. Elles restent constantes pendant un certain intervalle, puis changent brusquement pour prendre une nouvelle valeur. Le graphique ressemble alors à une série de marches.
Par exemple, une entreprise pourrait facturer 5 $ pour une quantité comprise entre 0 et moins de 10 unités, puis 8 $ entre 10 et moins de 20 unités, puis 12 $ entre 20 et moins de 30 unités.
Certaines quantités ne changent pas continuellement. Elles restent constantes pendant un certain intervalle, puis changent brusquement pour prendre une nouvelle valeur.
$$ f(x) = \begin{cases} 5 & 0 \le x < 10 \\ 8 & 10 \le x < 20 \\ 12 & 20 \le x < 30 \end{cases} $$
Graphiquement, cela produit une forme ressemblant à un escalier.
Définition mathématique
Une fonction en escalier est une fonction qui est constante sur chacun d'un certain nombre d'intervalles de son domaine et qui peut changer de valeur à certaines frontières.
Par exemple :
$$ f(x)= \begin{cases} 2 & 0 \leq x<3 \\ 5 & 3\leq x<7 \\ 1 & 7\leq x\leq10 \end{cases} $$- De \(0\) à moins de \(3\), \(f(x)=2\)
- De \(3\) à moins de \(7\), \(f(x)=5\)
- De \(7\) à \(10\), \(f(x)=1\)
Les symboles \(<,\ \le,\ >,\ \ge\) déterminent précisément quelle règle s'applique à une frontière. Une seule mauvaise inégalité peut modifier la valeur de la fonction.
Une fonction en escalier peut être représentée de plusieurs façons :
Une compagnie facture 5 $ pour les 10 premières unités, 8 $ pour les 10 suivantes et 12 $ pour les unités suivantes.
| x | f(x) |
|---|---|
| 0 | 5 |
| 5 | 5 |
| 9 | 5 |
| 10 | 8 |
| 15 | 8 |
| 19 | 8 |
| 20 | 12 |
Le graphique montre immédiatement les « marches » : des segments horizontaux qui « sautent » à chaque frontière.
avec plusieurs valeurs de \(x\) correspondant à une même valeur constante de \(f(x)\).
Les différentes façons de représenter une fonction en escalier
Une compagnie facture 5 $ pour les 10 premières unités, 8 $ pour les 10 suivantes et 12 $ pour les unités de la troisième tranche.
| x | f(x) | Interprétation |
|---|---|---|
| 0 | 5 | Premier palier |
| 5 | 5 | Premier palier |
| 9 | 5 | Encore le premier palier |
| 10 | 8 | Nouveau palier |
| 15 | 8 | Deuxième palier |
| 19 | 8 | Juste avant 20 |
| 20 | 12 | Troisième palier |
Le graphique montre les paliers horizontaux et les sauts. Il permet de repérer rapidement les valeurs constantes et les changements de tranche.
Plusieurs valeurs de \(x\) peuvent être envoyées vers une même valeur constante : par exemple, toutes les valeurs de \(x\) dans \([0,10[\) donnent 5.
Extrémités ouvertes et fermées
C'est une notion essentielle. Par exemple :
$$ f(x)= \begin{cases} 3 & 0\leq x<5 \\ 7 & 5\leq x<10 \end{cases} $$À \(x=5\), quelle est la valeur ? Ce n'est pas \(3\), car la règle \(x<5\) exclut 5. La deuxième règle contient \(5\leq x\), donc :
$$ \boxed{f(5)=7} $$- Cercle ouvert : valeur exclue
- Cercle plein : valeur incluse
Cinq exemples détaillés
Une station facture 4 $ pour 0 à 1 heure, 7 $ pour plus de 1 heure jusqu'à 2 heures, 10 $ pour plus de 2 heures jusqu'à 3 heures.
$$ C(t) = \begin{cases} 4 & 0 < t \leq 1 \\ 7 & 1 < t \leq 2 \\ 10 & 2 < t \leq 3 \end{cases} $$On détermine ensuite \(C(0,5)\), \(C(1)\), \(C(1,5)\), \(C(2)\), \(C(2,7)\) et on interprète chaque résultat dans le contexte du stationnement.
Une entreprise paie des montants différents selon une catégorie d'heures travaillées.
$$ S(h) = \begin{cases} 16h & 0 \le h \le 20 \\ 18h & 20 < h \le 40 \end{cases} $$Attention : cette fonction n'est pas nécessairement une fonction en escalier, puisque chaque morceau varie avec \(h\).
Un système de chauffage maintient une température constante pendant différentes périodes :
$$ T(t) = \begin{cases} 18 & 0 \le t < 6 \\ 21 & 6 \le t < 18 \\ 19 & 18 \le t \le 24 \end{cases} $$On interprète : \(T(8)=21\) et \(T(20)=19\).
où \(m\) représente la masse en grammes. On montre pourquoi \(P(100)=2,00\) mais \(P(100,1)=3,25\).
Un prix dépend d'une catégorie d'âge :
$$ P(a) = \begin{cases} 0 & 0 \le a < 6 \\ 8 & 6 \le a < 13 \\ 12 & 13 \le a < 18 \\ 18 & a \ge 18 \end{cases} $$Cela permet d'introduire le fait qu'une fonction en escalier peut modéliser des catégories.
Étudier une fonction en escalier
-
Domaine — Les valeurs de x pour lesquelles la fonction est définie.
Exemple : Pour une fonction définie sur l'intervalle [-2, 4[, le domaine englobe toutes les valeurs de x entre -2 inclus et 4 exclu :
Dom(f) = [-2, 4[. -
Image — Les valeurs réellement obtenues par f(x).
Exemple : L'image est formée des hauteurs uniques des marches. Si les marches sont aux hauteurs 1, 3 et 5, alors
Im(f) = {1, 3, 5}. -
Valeurs constantes — Sur chaque intervalle, f(x) = c, où c est constant.
Exemple : Sur l'intervalle [0, 2[, pour n'importe quelle valeur de x (ex: x = 0.5 ou x = 1.8), la valeur de f(x) reste fixe à 3.
-
Discontinuités — La fonction peut présenter des sauts.
Exemple : En x = 0, la fonction passe subitement de y = 1 à y = 3. Le saut vertical a une amplitude de 2 unités.
-
Intervalles — Les frontières déterminent les changements de valeur.
Exemple : Le domaine est divisé en sous-intervalles contigus : [-2, 0[, [0, 2[ et [2, 4[.
-
Bornes ouvertes et fermées — Elles déterminent quelle règle utiliser à une frontière.
Exemple : À la frontière x = 2, le point vide
∘indique que la valeur 3 est exclue, alors que le point plein•indique que f(2) = 5. -
Croissance et décroissance — Une fonction en escalier peut augmenter, diminuer, rester constante ou alterner entre plusieurs valeurs.
Exemple : Si la hauteur des marches passe de 1 à 3 puis à 5 de gauche à droite, la fonction est strictement croissante.
1.1.6 — Graphique Interactif : Fonction en escalier
Survolez le graphique avec votre curseur pour observer les valeurs et les propriétés aux frontières.
Où rencontre-t-on ces fonctions ?
| Domaine | Exemple | Pourquoi des paliers ? |
|---|---|---|
| Stationnement | 4 $, 7 $, 10 $ selon la durée | Tarifs fixés par tranches |
| Poste | Prix selon la masse | Classes tarifaires |
| Transport | Prix selon une zone | Zones discrètes |
| Forfait téléphonique | Frais selon un niveau de consommation | Seuils contractuels |
| Billetterie | Prix selon l'âge | Catégories d'âge |
| Électricité | Tarif par tranche | Structure tarifaire |
| Classification | Catégories de poids ou de taille | Découpage en classes |
| Contrôle | Commande ON/OFF ou plusieurs niveaux | Décisions par seuil |
Un phénomène continu peut être transformé en valeurs par paliers dès qu'une décision, un tarif ou une catégorie dépend d'un seuil. Le modèle n'est alors pas une description du phénomène physique lui-même, mais de la règle de décision appliquée.
Résoudre une fonction en escalier pas à pas
- 01Identifier la valeur de \(x\).
Écrire clairement la valeur à calculer. - 02Repérer l'intervalle.
Comparer \(x\) aux bornes une par une. - 03Lire les signes des inégalités.
Faire une différence entre \(<\) et \(\le\). - 04Choisir la bonne règle.
Ne rien calculer avant cette étape. - 05Calculer la sortie.
Substituer dans la règle sélectionnée. - 06Vérifier l'admissibilité.
La valeur obtenue doit provenir d'une condition réellement satisfaite. - 07Interpréter.
Exprimer la réponse avec son unité et son sens dans le contexte.
Soit \(f(x)=\begin{cases}10,&-5\le x<2\\4,&2\le x<7\\9,&7\le x\le12\end{cases}\). Calculer \(f(-3)\), \(f(2)\), \(f(6,9)\), \(f(7)\).
Réponses : \(f(-3)=10\), \(f(2)=4\), \(f(6,9)=4\), \(f(7)=9\).
Erreurs fréquentes
- Confondre \(x<5\) avec \(x\le5\).
- Utiliser la mauvaise règle à une frontière.
- Oublier qu'un cercle ouvert représente une valeur exclue.
- Confondre fonction en escalier et fonction définie par morceaux.
- Confondre domaine et image.
- Ne pas vérifier que toutes les parties du domaine sont couvertes.
- Attribuer deux valeurs différentes à la même frontière.
- Oublier les unités dans une situation appliquée.
- Lire une valeur sur le mauvais axe.
- Donner une valeur numérique sans l'interpréter.
Avant tout calcul, demande-toi : « Dans quel intervalle se trouve ma valeur de \(x\) ? » C'est cette question, et non la formule seule, qui détermine le calcul.
À retenir
- Une fonction en escalier est constante sur des intervalles et change de valeur à certains seuils.
- Les conditions d'intervalles déterminent exactement quelle règle utiliser.
- Un cercle ouvert signifie « exclu »; un cercle plein signifie « inclus ».
- La représentation peut être verbale, tabulaire, algébrique, graphique ou par correspondance.
- Une fonction définie par morceaux n'est pas forcément en escalier.
- Pour résoudre, on repère d'abord l'intervalle, puis on applique la bonne règle.
- Dans un problème réel, la réponse doit être interprétée avec son unité et son contexte.