Le cube d'un nombre
Après le carré, nous pouvons généraliser notre idée à trois dimensions.
Élever un nombre au cube signifie le multiplier par lui-même trois fois :
Géométriquement, si un cube a des arêtes de longueur \(a\), son volume est \(V=a\times a\times a=a^3\) — on multiplie les trois dimensions (longueur × largeur × hauteur), qui sont ici toutes égales.
\(a^1\) → une dimension (longueur) · \(a^2 = a\times a\) → deux dimensions (aire) · \(a^3=a\times a\times a\) → trois dimensions (volume). Cette interprétation géométrique donne un sens concret aux exposants.
Le cube d'un nombre négatif — et le signe d'une puissance
Le cube a une propriété différente du carré face aux nombres négatifs. \((-2)^2=4\) (positif), mais \((-2)^3=(-2)\times(-2)\times(-2)=-8\) (négatif). Les deux premiers facteurs négatifs donnent \((-)\times(-)=+\), mais le troisième facteur négatif redonne \((+)\times(-)=-\).
Lorsqu'un nombre négatif est élevé à une puissance entière : une puissance paire donne un résultat positif; une puissance impaire donne un résultat négatif. Par exemple \((-3)^2=9\), \((-3)^3=-27\), \((-3)^4=81\).
Comment calculer un cube rapidement?
Comme pour le carré, il existe plusieurs raccourcis, tous fondés sur l'identité algébrique :
Géométriquement, un grand cube de côté \((a+b)\) se découpe en 8 morceaux (contre 4 pour un carré) : un cube \(a^3\), trois blocs \(a^2b\), trois blocs \(ab^2\), et un petit cube \(b^3\) — car 3 dimensions donnent \(2^3=8\) régions, alors que 2 dimensions n'en donnaient que \(2^2=4\).
La racine cubique
La racine cubique est l'opération inverse du cube : si \(a^3=b\), alors la racine cubique de \(b\) est \(a\), notée \(\sqrt[3]{b}\). Par exemple, \(3^3=27\) donc \(\sqrt[3]{27}=3\). Géométriquement, si un cube a un volume de 125 cm³, son arête mesure \(\sqrt[3]{125}=5\) cm — la racine cubique permet de passer du volume à l'arête.
| 1³ | 2³ | 3³ | 4³ | 5³ | 6³ | 7³ | 8³ | 9³ | 10³ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | 1000 |
La racine cubique d'un nombre négatif
Dans les nombres réels, \(\sqrt{-a}\) n'est pas définie pour \(a>0\). Mais une racine cubique d'un nombre négatif est parfaitement définie : \((-3)^3=-27\), donc \(\sqrt[3]{-27}=-3\). Un nombre négatif multiplié trois fois par lui-même reste négatif — la racine cubique peut donc conserver le signe.
Exposants fractionnaires, algèbre et importance du cube
Comme pour la racine carrée, on peut écrire \(\sqrt[3]{a}=a^{1/3}\), car \((a^{1/3})^3=a^{(1/3)\times3}=a^1=a\). Plus généralement, \(\sqrt[n]{a}=a^{1/n}\) lorsque cette expression est définie.
En algèbre, \(x^3\) représente le cube de \(x\) et conserve l'information sur le signe : si \(x=2\), \(x^3=8\); si \(x=-2\), \(x^3=-8\). Une expression comme \(x^3+2x^2-x+5\) est un polynôme du troisième degré, puisque le plus grand exposant de la variable est 3 — les puissances \(x^2, x^3, x^4\), etc. permettent de classer les polynômes selon leur degré.
En géométrie, \(V=a^3\) donne le volume d'un cube. En sciences, les unités de volume sont elles-mêmes cubiques : \(\text{cm}^3\), \(\text{m}^3\), \(\text{km}^3\) — par exemple \(1\,\text{m}^3=1\,\text{m}\times1\,\text{m}\times1\,\text{m}\). Le cube fait ainsi le lien entre les nombres, les dimensions géométriques et les phénomènes physiques, et sera au cœur de l'étude des polynômes du troisième degré.
À retenir
- \(a^3 = a\times a\times a\) — géométriquement, le volume d'un cube d'arête \(a\).
- Une puissance paire d'un nombre négatif est positive; une puissance impaire est négative.
- \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\) explique toutes les astuces de calcul mental du cube.
- \(\sqrt[3]{a^3}=a\) pour tout \(a\in\mathbb{R}\) — contrairement à \(\sqrt{a^2}=|a|\), la racine cubique d'un négatif est définie et conserve le signe.
- \(\sqrt[3]{a}=a^{1/3}\).