Le carré d'un nombre
Élever un nombre au carré signifie le multiplier par lui-même.
Pour tout nombre \(a\), son carré est \(a^2=a\times a\).
Par exemple : \[ 5^2=5\times5=25. \]
On lit \(a^2\) : « a au carré ». Le terme « carré » vient aussi d'une interprétation géométrique très importante : l'aire d'un carré dont chaque côté mesure \(a\) est \(A=a\times a=a^2\).
C'est précisément pour cette raison que les unités d'aire sont elles-mêmes élevées au carré : \(\text{cm}\times\text{cm}=\text{cm}^2\).
Le carré d'un nombre négatif
Il faut faire attention lorsqu'un nombre négatif est élevé au carré : \[ (-3)^2=(-3)\times(-3)=9. \]
Le résultat est positif puisque le produit de deux nombres négatifs est positif. De façon générale, pour tout nombre réel \(a\) : \[ (-a)^2=a^2. \] Deux nombres opposés ont donc toujours le même carré.
Comment calculer un carré rapidement?
La méthode la plus fiable est la multiplication directe (\(23^2=23\times23=529\)), mais plusieurs astuces permettent d'aller plus vite selon le nombre.
Toutes reposent sur une seule identité algébrique :
| Méthode | Principe | Utilisation |
|---|---|---|
| Multiplication directe | \(a\times a\) | Toujours valide |
| Nombres ronds | Séparer les zéros | Calcul mental rapide |
| Nombres finissant par 5 | \(n\times(n+1)\), puis 25 | Calcul mental rapide |
| Nombre rond proche | \((a\pm b)^2\) | Nombres proches d'un multiple de 10 |
Pour \(48^2\), on remarque \(48=50-2\) :
\[ \begin{aligned} 48^2 &=(50-2)^2\\ &=50^2-2(50)(2)+2^2\\ &=2500-200+4\\ &=2304. \end{aligned} \]Pour un nombre finissant par 5, comme \(35=10(3)+5\) :
\[ (10n+5)^2 = 100n^2+100n+25 = 100n(n+1)+25. \]Ce n'est donc pas une collection de trucs séparés, mais une seule structure algébrique réutilisée de plusieurs façons.
Le carré n'est pas une proportionnalité
La relation \(A=a^2\) est quadratique, pas linéaire.
Si on double le côté d'un carré, son aire n'est pas doublée : elle est multipliée par \(2^2=4\).
\[ (2a)^2=2^2a^2=4a^2 \]\(a\to2a\), mais \(a^2\to4a^2\). C'est une première rencontre avec une relation non linéaire — une idée qui deviendra centrale avec les polynômes du deuxième degré.
La racine carrée
La racine carrée permet de remonter de l'aire ou du carré vers le nombre de départ.
La racine carrée est l'opération inverse du carré. Puisque \(5^2=25\), on écrit : \[ \sqrt{25}=5. \]
Par convention, \(\sqrt{a}\) désigne la racine principale, non négative : \(\sqrt{25}=5\), pas \(-5\).
Pourtant, il existe deux nombres dont le carré vaut 25 : \(5^2=25\) et \((-5)^2=25\).
Il faut donc distinguer :
\[ \sqrt{25}=5 \qquad\text{de}\qquad x^2=25\Rightarrow x=\pm5. \]Cette distinction mène à une propriété fondamentale :
\[ \sqrt{a^2}=|a|. \]Par exemple :
\[ \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = |-5|. \]La valeur absolue conserve le caractère non négatif de la racine carrée.
On a :
\[ \sqrt{a}=a^{1/2}. \]Pourquoi \(\tfrac12\)? Parce que :
\[ (a^{1/2})^2 = a^{(1/2)\times2} = a^1 = a. \]Plus généralement :
\[ a^{1/n}=\sqrt[n]{a}. \]Donc : \(a^{1/3}=\sqrt[3]{a}\) et \(a^{1/4}=\sqrt[4]{a}\).
Géométriquement, si un carré a une aire de \(36\text{ cm}^2\), la racine carrée permet de retrouver le côté : \(c=\sqrt{36}=6\text{ cm}\).
Le carré passe du côté à l'aire; la racine carrée fait l'inverse. Tu peux revenir au visuel de la section 1.1–1.2 et basculer sur « À partir de l'aire » pour le voir en action.
Les nombres irrationnels : le cas de \(\sqrt2\)
Tous les nombres n'ont pas une racine carrée « ronde ». \(\sqrt4=2\) et \(\sqrt9=3\), mais \(\sqrt2\) ne correspond à aucun nombre entier ni à aucune fraction exacte.
On dit que \(\sqrt2\) est un nombre irrationnel : son écriture décimale est infinie et ne se répète pas périodiquement.
Dans un carré de côté 1, la diagonale forme l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les deux côtés mesurent 1.
Le théorème de Pythagore donne :
\[ d^2=1^2+1^2=2. \]Donc :
\[ d=\sqrt2. \]C'est l'un des exemples les plus anciens de nombre irrationnel connus en mathématiques.
Comment calculer une racine carrée?
Aujourd'hui, on utilise presque toujours une calculatrice. Mais comprendre comment on peut s'en approcher soi-même — reconnaître un carré parfait, encadrer entre deux entiers, ou utiliser la méthode de Héron — montre qu'il n'y a pas une seule bonne façon de résoudre le problème : « quel nombre, multiplié par lui-même, donne \(a\)? »
| 1² | 2² | 3² | 4² | 5² | 6² | 7² | 8² | 9² | 10² |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 |
La dichotomie, l'extraction chiffre par chiffre et la méthode de Newton–Raphson sont d'autres façons d'arriver au même résultat.
Fait remarquable : la méthode de Newton, un outil moderne du calcul différentiel, redonne exactement la formule de Héron — une méthode vieille de plus de 3000 ans.
Dans les nombres réels
Dans les nombres réels, la racine carrée d'un nombre négatif n'est pas définie.
\[ \sqrt9=3 \qquad\text{mais}\qquad \sqrt{-9}\notin\mathbb R. \]On écrit donc : \[ \sqrt a \text{ est définie dans }\mathbb R \text{ seulement si }a\geq0. \]
Les nombres complexes permettent d'étendre cette notion : on y définit \(\sqrt{-1}=i\), où \(i\) est l'unité imaginaire. Cette idée dépasse le cadre de ce cours et sera abordée au collégial ou à l'université.
- \(a^2=a\times a\) — et géométriquement, l'aire d'un carré de côté \(a\).
- \((-a)^2=a^2\) : deux nombres opposés ont toujours le même carré.
- \(\sqrt a=a^{1/2}\) est la racine principale, toujours non négative.
- \(\sqrt{a^2}=|a|\), alors que \(x^2=25\Rightarrow x=\pm5\).
- Des nombres comme \(\sqrt2\) sont irrationnels : leur écriture décimale est infinie et non périodique.
- \(\sqrt a\) n'est définie dans \(\mathbb R\) que si \(a\geq0\).
- Doubler un côté quadruple l'aire : le carré est une relation quadratique, pas linéaire.