Qu'est-ce qu'un exposant?
Les exposants sont une façon simple et efficace d'écrire une multiplication répétée.
Lorsqu'un même nombre est multiplié plusieurs fois par lui-même, plutôt que d'écrire toute la multiplication, on peut utiliser une puissance :
On lit « deux à la puissance trois » ou « deux exposant trois ».
Une puissance \(a^n\) représente le produit de \(n\) facteurs égaux à \(a\), lorsque \(n\) est un entier positif : \[ a^4=a\times a\times a\times a. \]
Lorsqu'un nombre apparaît seul, il possède un exposant \(1\) implicite : \[ 2=2^1 \qquad\text{et}\qquad 7=7^1. \] On n'écrit généralement pas le \(1\), car cela n'apporte rien à l'écriture.
Les exposants et les parenthèses
Les parenthèses sont très importantes lorsqu'un exposant s'applique à une expression complète. Elles précisent exactement quelle expression constitue la base :
Dans le premier cas, la base est \(-2\) : \[ (-2)^2=(-2)\times(-2)=4. \] Dans le deuxième cas, l'exposant s'applique seulement au \(2\), et le signe négatif reste à l'extérieur : \[ -2^2=-(2^2)=-4. \]
Ainsi, \[ (-2)^2=4 \qquad\text{mais}\qquad -2^2=-4. \] Une différence très importante en algèbre.
| Expression | La base est... | Résultat général | Exemple \(a=2\) |
|---|---|---|---|
| \(a^n\) | \(a\) | selon la valeur et le signe de \(a\) | \(2^3=8\) |
| \((-a)^n\), \(n\) pair | \(-a\) | positif, \(=a^n\) | \((-2)^4=16\) |
| \((-a)^n\), \(n\) impair | \(-a\) | négatif, \(=-a^n\) | \((-2)^3=-8\) |
| \(-a^n\) | \(a\) | négatif si \(a>0\) | \(-2^2=-4\) |
Les parenthèses précisent aussi quelle expression constitue la base lorsqu'elle contient plusieurs termes.
On rencontrera plus tard des bases comme \((x+3)^2\), \((2x-5)^3\) ou \(\left(\frac34\right)^2\), où l'exposant s'applique à tout ce qui se trouve entre les parenthèses.
Exposants négatifs et exposant zéro
Un exposant négatif indique que l'on prend l'inverse de la puissance correspondante :
Par exemple :
Tout nombre peut être représenté comme une fraction : \[ 2=\frac21. \] Cela aide à comprendre les exposants négatifs :
Le changement de signe de l'exposant correspond à un passage de la base à son inverse.
Lorsqu'on multiplie deux puissances de même base, les exposants s'additionnent :
Or,
Donc \(8^0=1\). Ce n'est pas une règle arbitraire : elle découle des propriétés des puissances.
| Puissance | Opération | Équivalent | Valeur |
|---|---|---|---|
| \(5^2\) | \(5^{1+1}\) | \(5\times5\) | 25 |
| \(5^1\) | \(5^{1+0}\) | 5 | 5 |
| \(5^0\) | \(5^{1-1}\) | 1 | 1 |
| \(5^{-1}\) | \(5^{0-1}\) | \(1\div5\) | \(\frac15\) |
| \(5^{-2}\) | \(5^{-1-1}\) | \(\frac15\times\frac15\) | \(\frac1{25}\) |
Reviens à l'explorateur de puissance de la section 1.1 : glisse l'exposant jusqu'à \(0\) ou en négatif pour voir ce tableau prendre vie avec n'importe quelle base.
Grands nombres et notation scientifique
Les puissances de \(10\) permettent d'écrire efficacement des nombres extrêmement grands ou extrêmement petits.
Les exposants sont particulièrement utiles lorsque les nombres deviennent très grands. Au lieu d'écrire \[ 100\,000\,000, \] on peut écrire \[ 10^8, \] car \[ 10^8=100\,000\,000. \]
Cette notation permet d'économiser beaucoup d'espace et rend les calculs plus faciles à manipuler — particulièrement important en sciences pour représenter des distances astronomiques, des masses, des dimensions microscopiques ou des quantités de particules.
La notation scientifique utilise une mantisse comprise entre \(1\) et \(10\), multipliée par une puissance de \(10\).
Elle est très utilisée en physique, en astronomie et en chimie pour représenter efficacement des nombres extrêmement grands ou petits.
À retenir
- Une puissance possède une base et un exposant : \(a^n\).
- Pour un exposant entier positif, l'exposant indique combien de fois la base apparaît comme facteur.
- Les parenthèses permettent de préciser exactement quelle expression constitue la base.
- Un exposant négatif correspond à l'inverse de la puissance correspondante.
- Pour \(a\neq0\), \(a^0=1\).
- La notation scientifique permet de représenter efficacement des nombres très grands ou très petits.
La prochaine partie aborde les opérations sur les exposants — les règles qui permettent de simplifier des expressions contenant plusieurs puissances.