Comprendre le symbole pourcentage
Le symbole % signifie littéralement « sur 100 ».
Un pourcentage exprime une proportion par rapport à 100 :
Un pourcentage peut être inférieur à 100% (une partie du tout), égal à 100% (le tout en entier), ou supérieur à 100% (plus que le tout initial). Par exemple, \(50\% = \tfrac{50}{100} = \tfrac12\) représente la moitié, et \(25\% = \tfrac14\) représente le quart.
Les pourcentages, les fractions et les nombres décimaux sont trois façons différentes de représenter une même proportion. Pour passer d'un pourcentage à un décimal, on divise par 100; pour passer d'un décimal à un pourcentage, on multiplie par 100.
Convertir entre fraction, décimal et pourcentage
Pourcentage → décimal
On divise par 100 (la virgule se déplace de 2 positions vers la gauche) : \(45\% = \tfrac{45}{100} = 0{,}45\).
Décimal → pourcentage
On multiplie par 100 (la virgule se déplace de 2 positions vers la droite) : \(0{,}37 \times 100 = 37\), donc \(0{,}37 = 37\%\).
Pour une fraction, on la transforme d'abord en décimal, puis en pourcentage : \(\tfrac35 = 0{,}6 \to 0{,}6\times100 = 60\%\).
| Fraction | Décimal | Pourcentage |
|---|---|---|
| 1/2 | 0,5 | 50% |
| 1/4 | 0,25 | 25% |
| 3/4 | 0,75 | 75% |
| 1/10 | 0,1 | 10% |
| 3/5 | 0,6 | 60% |
Ces deux valeurs sont très différentes : \(0{,}5\% = 0{,}005\), alors que \(50\% = 0{,}50\).
Calculer un pourcentage d'une quantité
Exemple : 20% de 80. On transforme \(20\% = 0{,}20\), puis \(80\times0{,}20=16\).
Trouver le taux ou le tout
Trouver le taux
Exemple : 10 élèves sur 25. \(\tfrac{10}{25}\times100=40\%\).
Trouver le tout
Exemple : 18 représente 30% d'une quantité. \(\tfrac{18}{0{,}30}=60\).
Il faut toujours placer la partie au numérateur et le tout au dénominateur. Pour 12 personnes sur 30 : \(\tfrac{12}{30}\times100=40\%\), et non l'inverse.
Augmentation, diminution et rabais
Une augmentation de \(p\%\) multiplie par \(\left(1+\tfrac{p}{100}\right)\); une diminution de \(p\%\) multiplie par \(\left(1-\tfrac{p}{100}\right)\). Par exemple, une augmentation de 15% utilise le facteur \(1{,}15\); un rabais de 30% utilise le facteur \(0{,}70\).
| Variation | Pourcentage restant | Facteur |
|---|---|---|
| Augmentation de 10% | 110% | 1,10 |
| Augmentation de 25% | 125% | 1,25 |
| Diminution de 10% | 90% | 0,90 |
| Diminution de 25% | 75% | 0,75 |
Un rabais de 30% ne signifie pas qu'on soustrait 30 dollars. Le montant retiré dépend toujours du prix de départ : 30% de 60$ fait 18$, pas 30$.
Calcul mental
Quelques pourcentages sont particulièrement utiles à connaître par cœur : \(50\%=\tfrac12\), \(25\%=\tfrac14\), \(10\%=\tfrac1{10}\), \(5\%=\tfrac1{20}\), \(1\%=\tfrac1{100}\).
| 50% | 25% | 10% | 5% | 1% |
|---|---|---|---|---|
| 120 | 60 | 24 | 12 | 2,4 |
Erreurs fréquentes
- Oublier de diviser par 100 : \(25\% \neq 25\), mais \(25\%=0{,}25\).
- Confondre 0,5% et 50% : \(0{,}5\%=0{,}005\), alors que \(50\%=0{,}50\).
- Confondre le montant d'une variation et la nouvelle valeur : si 100$ augmente de 20%, l'augmentation est \(100\times0{,}20=20\), mais le nouveau prix est \(100+20=120\).
- Inverser partie et tout : le taux est toujours \(\dfrac{\text{partie}}{\text{tout}}\times100\), jamais l'inverse.
Génère tes propres problèmes
Choisis un type de problème, résous-le, puis vérifie ta réponse.
À retenir
- \(p\% = \dfrac{p}{100}\) — un pourcentage est une fraction sur 100.
- Partie \(= \text{tout} \times \text{taux décimal}\).
- Taux \(= \dfrac{\text{partie}}{\text{tout}} \times 100\).
- Tout \(= \dfrac{\text{partie}}{\text{taux décimal}}\).
- Augmentation de p% : multiplier par \(\left(1+\tfrac{p}{100}\right)\).
- Diminution de p% : multiplier par \(\left(1-\tfrac{p}{100}\right)\).
La compétence importante n'est pas seulement de connaître une formule : c'est de reconnaître quelle quantité représente le tout, quelle quantité représente la partie, et quelle quantité représente le taux.