Vous pouvez remarquer que chaque article de la facture est tarifé en dollars et en sous. Dans ce cas, nous avons aligné les dollars avec les dollars et les sous avec les sous, en prenant soin d’aligner les virgules décimales. Il ne reste alors qu’à additionner les nombres colonne par colonne, comme nous le faisons avec les nombres entiers. En alignant ainsi les nombres décimaux, nous pouvons facilement effectuer des additions et des soustractions, exactement comme nous le faisons avec les nombres entiers.
Additionner des nombres décimaux
L'addition de nombres décimaux repose essentiellement sur la valeur de position.
- Aligner les virgules.
- Ajouter des zéros si nécessaire pour que les deux nombres aient le même nombre de décimales.
- Additionner colonne par colonne, de droite à gauche.
- Placer la virgule dans le résultat, sous les autres virgules.
+41,38
64,88
Soustraire des nombres décimaux
La soustraction suit la même logique que l'addition : on aligne les virgules, on complète avec des zéros, puis on soustrait colonne par colonne (avec des emprunts si nécessaire).
−1,150
6,218
Si le nombre que l'on soustrait est plus grand que le nombre de départ, le résultat est négatif. Par exemple, \(2{,}51-7{,}4\) : puisque \(7{,}4>2{,}51\), on calcule d'abord \(7{,}40-2{,}51=4{,}89\), puis on écrit \(2{,}51-7{,}4=-4{,}89\).
Multiplier des nombres décimaux
La multiplication de nombres décimaux ressemble beaucoup à la multiplication de nombres entiers. La principale différence consiste à déterminer où placer la virgule décimale dans le résultat.
Pour comprendre la méthode, commençons par revoir comment nous multiplions les fractions.
Vous souvenez-vous de la façon de multiplier deux fractions? Pour multiplier des fractions, nous multiplions les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Voyons maintenant ce qui se produit lorsque nous transformons des nombres décimaux en fractions avant de les multiplier. Cette démarche nous permettra de dégager une règle.
Considérons les deux exemples suivants :
| Exemple A | Exemple B | |
|---|---|---|
| Multiplication | \(0,3\times0,7\) | \(0,2\times0,46\) |
| Écriture sous forme de fractions | \(\dfrac{3}{10}\times\dfrac{7}{10}\) | \(\dfrac{2}{10}\times\dfrac{46}{100}\) |
| Multiplication | \(\dfrac{21}{100}\) | \(\dfrac{92}{1000}\) |
| Écriture décimale | \(0,21\) | \(0,092\) |
Observons ce qui se passe.
Dans l'exemple A, nous avons multiplié deux nombres qui comportent chacun une décimale. Le résultat comporte deux décimales.
Dans l'exemple B, nous avons multiplié un nombre qui comporte une décimale par un nombre qui en comporte deux. Le résultat comporte alors trois décimales.
Une règle à retenir
Pour multiplier des nombres décimaux, le résultat doit comporter autant de décimales que le total des décimales présentes dans les facteurs.
Par exemple, combien de décimales devrions-nous avoir dans le résultat de
Le nombre \(0,01\) comporte 2 décimales, tandis que le nombre \(0,004\) en comporte 3.
Nous devons donc avoir
décimales dans le résultat.
Effectuons la multiplication :
Le résultat comporte bien 5 décimales.
Nous pouvons également comprendre cette règle en écrivant les nombres sous forme de fractions :
Le dénominateur du résultat comporte cinq zéros, ce qui correspond aux 5 décimales du résultat.
La règle
Une fois que nous savons déterminer le nombre de décimales que doit comporter le résultat, nous pouvons multiplier directement les nombres décimaux, sans avoir à les transformer en fractions.
Pour multiplier deux nombres décimaux :
- On effectue la multiplication comme s'il s'agissait de nombres entiers, sans tenir compte des virgules.
- On compte le nombre total de décimales dans les deux facteurs.
- On place la virgule dans le résultat de façon à obtenir ce même nombre de décimales.
Exemple
Calculons :
Le nombre \(0,23\) comporte 2 décimales et le nombre \(0,4\) en comporte 1. Le résultat doit donc comporter
décimales.
On effectue d'abord la multiplication sans tenir compte des virgules :
Puisque le résultat doit comporter trois décimales, on obtient :
Et les signes?
Les règles concernant les signes s'appliquent également aux nombres décimaux. Ainsi, comme pour les nombres entiers :
- un nombre positif multiplié par un nombre positif donne un résultat positif;
- un nombre négatif multiplié par un nombre négatif donne un résultat positif;
- un nombre positif multiplié par un nombre négatif donne un résultat négatif;
- un nombre négatif multiplié par un nombre positif donne un résultat négatif.
- Déterminer le signe du produit.
- Écrire les nombres en colonne en alignant leurs chiffres vers la droite.
- Effectuer la multiplication comme s'il s'agissait de nombres entiers, sans tenir compte temporairement des virgules.
- Placer la virgule. Le nombre de chiffres après la virgule dans le produit est égal à la somme du nombre de chiffres après la virgule dans les deux facteurs. Au besoin, on ajoute des zéros pour compléter.
- Écrire le produit avec le signe approprié.
Diviser des nombres décimaux
La division de nombres décimaux ressemble beaucoup à la division de nombres entiers. La principale difficulté consiste à savoir où placer la virgule dans le quotient.
Avant de commencer une division longue, il faut toutefois s'assurer que le diviseur est un nombre entier. Si le diviseur comporte une virgule, nous pouvons transformer la division en une division équivalente dont le diviseur est entier.
Une propriété importante
Si nous multiplions le dividende et le diviseur par un même nombre non nul, le quotient ne change pas.
Cette propriété nous permet de déplacer la virgule du dividende et du diviseur du même nombre de positions vers la droite.
Transformer le diviseur en nombre entier
Considérons la division suivante :
Le diviseur \(2,6\) comporte une décimale. Nous devons donc multiplier les deux nombres par \(10\) :
Le diviseur est maintenant un nombre entier. Nous pouvons donc effectuer la division longue.
Ainsi,
- Déterminer le signe du quotient. Les règles des signes sont les mêmes que pour les nombres entiers.
- Transformer le diviseur en nombre entier. Déplacer la virgule du diviseur vers la droite jusqu'à ce qu'il devienne un nombre entier.
- Déplacer la virgule du dividende du même nombre de positions. Il faut multiplier le dividende et le diviseur par la même puissance de \(10\).
- Effectuer la division longue comme avec des nombres entiers.
- Placer la virgule dans le quotient au moment approprié lors de la division du dividende.
- Vérifier le résultat en utilisant une estimation ou la multiplication : \[ \text{diviseur}\times\text{quotient}=\text{dividende}. \]
Exemple 1 — Dividende décimal et diviseur entier
Commençons par un cas où le diviseur est déjà un nombre entier :
Comme le diviseur \(3\) est déjà un nombre entier, nous pouvons commencer directement la division longue.
Nous divisons d'abord la partie entière :
- Dans \(7\), le nombre \(3\) entre \(2\) fois. On écrit \(2\) au quotient.
- \(2\times3=6\). Il reste \(1\).
- On abaisse le \(5\), ce qui donne \(15\).
- Dans \(15\), le nombre \(3\) entre \(5\) fois. On écrit \(5\) au quotient.
- \(5\times3=15\). Il reste \(0\).
Nous arrivons maintenant à la virgule du dividende. Nous plaçons donc la virgule dans le quotient, puis nous abaissons le \(6\).
Ainsi,
Exemple 2 — Diviseur décimal
Calculons maintenant :
Cette fois, le diviseur \(1,2\) comporte une décimale. Nous devons donc transformer le diviseur en nombre entier.
Nous déplaçons la virgule d'une position vers la droite dans les deux nombres :
Nous pouvons maintenant effectuer la division longue :
Donc,
Exemple 3 — Deux nombres décimaux
Calculons :
Le diviseur \(2,6\) comporte une décimale. Nous déplaçons donc sa virgule d'une position vers la droite. Nous devons faire exactement la même chose avec le dividende :
La division devient donc :
Nous pouvons maintenant effectuer la division longue.
Ainsi,
À retenir
Le diviseur doit être un nombre entier avant d'effectuer la division longue.
Pour y arriver, on multiplie le dividende et le diviseur par la même puissance de \(10\).
On peut voir cette opération comme un déplacement de la virgule, mais il est important de comprendre que nous sommes en réalité en train de multiplier les deux nombres par le même nombre.
Lorsque la division ne donne pas un reste nul
Il est possible que la division ne se termine pas exactement. Dans ce cas, nous pouvons continuer la division en ajoutant des zéros au dividende. Ajouter des zéros après la virgule ne change pas la valeur du nombre :
Par exemple, considérons :
La division donne \(3\) avec un reste de \(5\). Nous pouvons continuer en écrivant \(23,0\), puis abaisser le zéro.
Si nous voulons seulement deux décimales, nous pouvons arrêter après avoir obtenu \(3,83\) et arrondir selon la précision demandée.
Une bonne vérification
Pour vérifier une division, nous pouvons utiliser la multiplication. Le produit du diviseur et du quotient devrait redonner le dividende :
Par exemple :
Notre quotient est donc cohérent.
Certaines divisions ne donnent pas un nombre décimal fini : \(10\div3=3{,}3333\ldots\) Dans une situation pratique, on arrondit à la précision demandée — par exemple \(3{,}33\) au centième près.
Multiplier et diviser par une puissance de 10
Multiplier par 10, 100, 1000... déplace la virgule vers la droite. Diviser par 10, 100, 1000... déplace la virgule vers la gauche. Le nombre de zéros indique le nombre de déplacements.
Ordre des opérations avec des décimaux
Les nombres décimaux ne changent pas les règles de priorité des opérations :
Lorsque deux opérations ont la même priorité, on travaille de gauche à droite.
Sans parenthèses
On multiplie d'abord : \(2{,}4\times3=7{,}2\). Puis \(3{,}5+7{,}2=\boxed{10{,}7}\).
Avec parenthèses
On commence par les parenthèses : \(3{,}5+2{,}4=5{,}9\). Puis \(5{,}9\times3=\boxed{17{,}7}\).
Ne pas calculer les opérations automatiquement dans l'ordre où elles sont écrites. Dans \(3{,}5+2{,}4\times3\), on ne commence pas par \(3{,}5+2{,}4\) — la multiplication vient avant l'addition.
Estimation et vérification
L'estimation permet de vérifier si une réponse est raisonnable, de détecter une erreur de virgule, et de décider si un résultat de calculatrice est plausible.
Pour \(19{,}8\times4{,}9\), on approxime : \(19{,}8\approx20\) et \(4{,}9\approx5\), donc \(19{,}8\times4{,}9\approx20\times5=100\). Le résultat exact, \(97{,}02\), est cohérent avec cette estimation.
Si un calcul donne \(19{,}8\times4{,}9=9702\), l'estimation (proche de 100) permet de voir immédiatement qu'une virgule est mal placée — le vrai résultat est \(97{,}02\).
Si \(7{,}368-1{,}15=6{,}218\), on vérifie avec \(6{,}218+1{,}15=7{,}368\). Pour une multiplication \(4{,}5\times2=9\), on vérifie avec \(9\div2=4{,}5\).
Erreurs fréquentes
- Aligner les chiffres plutôt que les virgules lors d'une addition ou soustraction écrite en colonne.
- Croire que \(0{,}8<0{,}75\) à cause du nombre de chiffres — en réalité \(0{,}8=0{,}80>0{,}75\).
- Oublier les zéros : pour \(5-2{,}34\), écrire \(5{,}00-2{,}34\) rend la soustraction beaucoup plus claire.
- Mal placer la virgule après une multiplication en oubliant de compter toutes les décimales des deux facteurs.
- Déplacer seulement la virgule du diviseur dans une division — il faut déplacer celle du dividende du même nombre de positions.
Applications : argent et mesures
Monnaie
Un achat coûte \(14{,}65\)$. En payant avec \(20{,}00\)$, la monnaie rendue est \(20{,}00-14{,}65=5{,}35\)$.
Mesures
Attention aux unités : \(2{,}5\text{ m}+75\text{ cm}\) ne se calcule pas directement. On convertit \(75\text{ cm}=0{,}75\text{ m}\), puis \(2{,}5+0{,}75=3{,}25\text{ m}\).
Lire le problème, déterminer ce que l'on cherche, identifier les données utiles, vérifier les unités, choisir l'opération, écrire le calcul, l'effectuer, arrondir si nécessaire, puis vérifier si la réponse est raisonnable avant d'écrire une phrase-réponse.
Génère tes propres problèmes
Choisis une opération, essaie de résoudre le problème généré, puis vérifie ta réponse.
À retenir
- Addition et soustraction — aligner les virgules, compléter avec des zéros.
- Multiplication — multiplier normalement, puis compter les décimales.
- Division — transformer le diviseur en entier (multiplier les deux nombres par la même puissance de 10).
- Puissances de 10 — \(\times10^n\) déplace la virgule de \(n\) positions à droite; \(\div10^n\), vers la gauche.
- Ordre des opérations — parenthèses, puis multiplication/division, puis addition/soustraction.
- Vérification — estimer avant ou après le calcul, ou utiliser l'opération inverse.