Une fraction représente une quantité, une partie d'un tout et une division. Les opérations sur les fractions permettent ensuite de combiner, comparer, partager et transformer ces quantités.
Une fraction peut toujours s'écrire \(\dfrac{a}{b} = a \div b\), avec \(b \neq 0\). Les fractions apparaissent partout : partager une somme d'argent, calculer une réduction, déterminer une portion d'une recette, mesurer une distance, calculer une durée ou exprimer une probabilité.
Par exemple : j'ai dépensé \(\tfrac14\) de mon budget lundi et \(\tfrac{3}{10}\) mardi; une recette demande \(\tfrac34\) de tasse d'un ingrédient et je veux faire \(\tfrac23\) de la recette; je possède \(\tfrac56\) d'un réservoir; une facture est répartie entre plusieurs personnes; un prix est augmenté de \(\tfrac15\) ou réduit de \(\tfrac14\). Dans toutes ces situations, une opération sur les fractions permet de traduire la situation en mathématiques.
Les quatre opérations ne se font pas toutes de la même manière avec les fractions — additionner exige un dénominateur commun, mais multiplier ne l'exige pas.
Si les deux fractions parlent de morceaux de même taille, on additionne le nombre de morceaux :
$$ \frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{2+3}{7}=\frac{5}{7} $$Même dénominateur : \(\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c}\) — on additionne les numérateurs et on conserve le dénominateur.
\(\dfrac{2}{7}+\dfrac{3}{7} \neq \dfrac{5}{14}\). Le dénominateur ne s'additionne jamais : il indique la taille des morceaux, pas une quantité à combiner. Deux septièmes plus trois septièmes donnent cinq septièmes, pas cinq quatorzièmes.
Quand les morceaux ne sont pas de la même taille, on cherche d'abord un dénominateur commun (idéalement le plus petit multiple commun), on transforme chaque fraction en fraction équivalente, on additionne les numérateurs, puis on simplifie si possible.
Un budget mensuel de 1200 $ est dépensé à \(\tfrac14\) pour le logement et \(\tfrac16\) pour l'alimentation. Dénominateur commun 12 : \(\tfrac{3}{12}+\tfrac{2}{12}=\tfrac{5}{12}\) du budget. En argent : \(1200\times\tfrac{5}{12}=500\) — donc 500 $. Une bonne démarche consiste toujours à regarder les unités de la réponse : la fraction répond « quelle fraction ? », le montant répond « combien d'argent ? ».
La soustraction fonctionne sur le même principe que l'addition : \(\dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}=\dfrac{a-b}{c}\) pour un même dénominateur, sinon on trouve d'abord un dénominateur commun (widget ci-dessus, bouton «−»).
Quand on vous demande « quelle partie reste ? », pensez à \(1 - \text{partie utilisée}\). Exemple : vous dépensez \(\tfrac38\) de 80 $. Il reste \(\tfrac88-\tfrac38=\tfrac58\), soit \(80\times\tfrac58=50\) — donc 50 $. Utile pour les budgets, les réservoirs, les stocks, les distances et les temps écoulés.
Pour \(2\tfrac14 - \tfrac56\), il est plus sûr de transformer d'abord le nombre mixte en fraction impropre : \(2\tfrac14=\tfrac94\). Avec un dénominateur commun de 12 : \(\tfrac{27}{12}-\tfrac{10}{12}=\tfrac{17}{12}=1\tfrac{5}{12}\). Soustraire séparément les parties entières et les fractions sans vérifier un emprunt est une erreur fréquente.
La multiplication est beaucoup plus directe : on multiplie les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble.
$$ \frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} $$On peut comprendre ceci comme « une partie d'une partie » : \(\tfrac23 \times \tfrac34\) cherche les deux tiers de trois quarts d'un tout — c'est exactement ce que montre le modèle d'aire ci-dessous.
Pour \(\tfrac{8}{15}\times\tfrac{25}{12}\), simplifier en croix avant de multiplier (8 et 12 → 2 et 3; 25 et 15 → 5 et 3) donne directement \(\tfrac23\times\tfrac53=\tfrac{10}{9}=1\tfrac19\), avec des nombres plus petits et moins de risques d'erreur.
Un article de 240 $ avec une réduction de \(\tfrac14\) : le client paie \(1-\tfrac14=\tfrac34\) du prix, soit \(240\times\tfrac34=180\) $. Une commission de \(\tfrac{3}{20}\) sur 4000 $ de ventes donne \(4000\times\tfrac{3}{20}=600\) $.
L'inverse d'un nombre non nul est le nombre qui, multiplié par le nombre original, donne 1. L'inverse de \(\tfrac{a}{b}\) est \(\tfrac{b}{a}\), à condition que \(a \neq 0\). L'inverse est directement lié à la division : \(a \div b = a \times \tfrac1b\).
Il n'existe aucun nombre \(x\) tel que \(0 \times x = 1\). Cela rejoint une règle fondamentale : on ne peut jamais diviser par zéro.
Pour diviser par une fraction, on garde la première fraction, on change ÷ en ×, et on inverse la deuxième :
$$ \frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c} $$Je garde — je change — j'inverse.
\(\dfrac{3}{5}\div\dfrac{2}{7}\) devient \(\dfrac35\times\dfrac72\), pas \(\dfrac53\times\dfrac37\). On ne doit jamais inverser les deux fractions.
Un entier s'écrit comme une fraction de dénominateur 1 : \(5=\tfrac51\), donc \(5\div\tfrac23=\tfrac51\times\tfrac32=\tfrac{15}{2}=7\tfrac12\).
Vous avez \(\tfrac34\) kg d'un ingrédient; chaque portion nécessite \(\tfrac18\) kg. \(\tfrac34\div\tfrac18=\tfrac34\times8=6\) — vous pouvez préparer 6 portions. La division répond souvent à : « combien de fois cette quantité entre-t-elle dans cette autre ? »
Multiplier par une fraction entre 0 et 1 diminue la quantité (\(20\times\tfrac34=15\)); multiplier par une fraction supérieure à 1 l'augmente (\(20\times\tfrac32=30\)). Mais diviser par une fraction entre 0 et 1 augmente la quantité : \(20\div\tfrac12=40\), puisqu'on demande combien de moitiés il y a dans 20.
Croire que « diviser » rend toujours le nombre plus petit. \(20\div2=10\), mais \(20\div\tfrac12=40\). Tout dépend du nombre par lequel on divise.
Pour multiplier ou diviser des nombres mixtes, transformez-les d'abord en fractions impropres : \(3\tfrac25 = \tfrac{3\times5+2}{5}=\tfrac{17}{5}\). Exemple : \(2\tfrac13\times1\tfrac12=\tfrac73\times\tfrac32=\tfrac{21}{6}=3\tfrac12\).
Parenthèses → Exposants → Multiplication/Division → Addition/Soustraction (de gauche à droite pour une même priorité). Exemple : \(\tfrac12+\tfrac34\times\tfrac23\) — on multiplie d'abord (\(\tfrac34\times\tfrac23=\tfrac12\)), puis on additionne (\(\tfrac12+\tfrac12=1\)).
Ne pas faire les opérations automatiquement dans l'ordre où elles sont écrites — la multiplication vient avant l'addition, même si elle est écrite après.
Une fraction d'une quantité s'obtient par une multiplication. Une réduction de \(r\) laisse payer un facteur \(1-r\); une augmentation de \(r\) applique un facteur \(1+r\).
Un budget de 2400 $ est utilisé à \(\tfrac38\) pour le logement, \(\tfrac14\) pour la nourriture, \(\tfrac18\) pour le transport. Utilisé : \(\tfrac38+\tfrac28+\tfrac18=\tfrac68=\tfrac34\). Il reste \(1-\tfrac34=\tfrac14\), soit \(2400\times\tfrac14=600\) — donc 600 $ restants.
- Additionner les dénominateurs : \(\tfrac23+\tfrac15 \neq \tfrac48\). Toujours passer par un dénominateur commun (\(\tfrac{10}{15}+\tfrac{3}{15}=\tfrac{13}{15}\)).
- Multiplier les dénominateurs lors d'une addition sans transformer les numérateurs : \(\tfrac12+\tfrac13 \neq \tfrac{2+3}{2\times3}\).
- Inverser la mauvaise fraction lors d'une division : seule la deuxième fraction s'inverse.
- Oublier de simplifier : \(\tfrac{12}{18}\) est correct, mais \(\tfrac23\) est la réponse attendue.
- Croire qu'un résultat supérieur à 1 est forcément faux — par exemple \(\tfrac23\div\tfrac14=\tfrac83\), et c'est tout à fait valide.
- Perdre les unités : un calcul correct doit préciser ce qu'il représente (dollars, minutes, kilomètres…).
Que cherche-t-on ? Une fraction, un montant, une longueur, un nombre de portions ? Cela guide le choix de l'opération.
« Ce qui reste » → soustraction; « une fraction de » → multiplication; « combien de groupes entrent » → division; « répartir également » → division.
\(\tfrac78+\tfrac1{10}\approx0{,}875+0{,}1=0{,}975\). Le calcul exact donne \(\tfrac{39}{40}=0{,}975\) — l'estimation confirme un résultat raisonnable.
\(\tfrac{7}{12}+\tfrac{5}{18}\) : le dénominateur 36 donne \(\tfrac{21}{36}+\tfrac{10}{36}=\tfrac{31}{36}\).
\(\tfrac{14}{15}\times\tfrac{25}{28}\) : simplifier en croix (14/28→1/2, 25/15→5/3) donne \(\tfrac12\times\tfrac53=\tfrac56\), sans manipuler de grands nombres.
Lire → identifier ce qu'on cherche → repérer les quantités connues → choisir l'opération → écrire le calcul → l'effectuer → simplifier → vérifier si c'est raisonnable → conclure avec l'unité.
Comprendre d'abord → calculer ensuite → vérifier à la fin
| Opération | Formule |
|---|---|
| Addition | a/c + b/c = (a+b)/c — dénominateur commun d'abord si différents |
| Soustraction | a/c − b/c = (a−b)/c — dénominateur commun d'abord si différents |
| Multiplication | a/b × c/d = ac/bd |
| Inverse | inv(a/b) = b/a, avec a ≠ 0 |
| Division | a/b ÷ c/d = a/b × d/c |
- Si \(0
- Si \(0
- Une addition de quantités positives donne un résultat au moins aussi grand que chacune.
- Soustraire une quantité positive donne toujours un résultat plus petit.
Un revenu de 2000 $ est réparti ainsi : \(\tfrac25\) logement, \(\tfrac15\) nourriture, \(\tfrac{1}{10}\) transport.
1. Fraction utilisée : dénominateur commun 10 → \(\tfrac{4}{10}+\tfrac{2}{10}+\tfrac{1}{10}=\tfrac{7}{10}\).
2. Fraction restante : \(1-\tfrac{7}{10}=\tfrac{3}{10}\).
3. Montant restant : \(2000\times\tfrac{3}{10}=600\) $.
4. Interprétation : les fractions ont permis de décrire le budget en proportions exactes, avant même de connaître les montants en dollars.
- Additionner et soustraire des fractions, avec ou sans dénominateur commun.
- Multiplier des fractions et simplifier avant ou après.
- Transformer un nombre mixte en fraction impropre.
- Déterminer l'inverse d'un nombre non nul, et diviser des fractions.
- Résoudre des problèmes financiers avec des fractions.
- Estimer un résultat avant de calculer, et reconnaître les erreurs fréquentes.
Comprendre → choisir une stratégie → calculer → vérifier
Une erreur de calcul n'est pas la fin de la démarche : elle donne souvent un indice sur l'étape qu'il faut revoir.