Pourquoi est-ce qu'on a inventé les fractions ? Imaginez un beau vase en céramique qui tombe et se brise en 1000 morceaux. Pour le réparer, il faut travailler avec chacun de ces petits morceaux — le vase était un tout, maintenant séparé en plusieurs parties.
Une fraction permet de prendre un tout et de représenter une ou plusieurs des parties qui le composent.
Un exemple plus simple : vous allez au restaurant avec quatre amis et commandez une pizza. La pizza complète représente un tout, mais vous voulez la partager entre vous — il faut donc la couper en plusieurs parties égales.
Les fractions ne servent pas seulement à partager une pizza. Depuis très longtemps, les humains en ont eu besoin pour :
- partager de la nourriture;
- mesurer des quantités;
- faire du commerce;
- calculer des impôts ou des taxes;
- mesurer des terrains;
- mesurer le temps.
Les fractions sont apparues très tôt dans l'histoire des mathématiques parce que les humains avaient besoin de quantifier le monde qui les entourait.
Si on retourne aux premières grandes civilisations, on retrouve déjà des façons de représenter les fractions — chez les Égyptiens, dans la vallée de l'Indus, et en Mésopotamie.
Les Égyptiens travaillaient surtout avec des fractions unitaires, c'est-à-dire des fractions dont le numérateur était 1, par exemple \(\dfrac{1}{5}\). Ce système fonctionnait, mais il devenait vite compliqué pour faire des calculs avec plusieurs fractions : il fallait connaître différentes façons de les décomposer et utiliser des tables.
Un peu plus tard, les civilisations de Mésopotamie — les Babyloniens — ont développé un système basé sur 60, appelé système sexagésimal. Vous l'utilisez encore aujourd'hui sans nécessairement vous en rendre compte :
$$ 1\ \text{min} = 60\ \text{s} \qquad 1\ \text{h} = 60\ \text{min} \qquad 1^{\circ} = 60' \qquad 1' = 60'' $$Cette façon efficace de représenter et de calculer avec les fractions était très utile pour le commerce, l'agriculture, les impôts, les mesures et la gestion des ressources. Un marchand possédant 10 sacs de céréales et voulant en vendre le quart devait être capable de calculer précisément combien de sacs cela représentait, combien il lui en restait, et combien il pourrait vendre plus tard. Les fractions deviennent alors un outil pour organiser et comprendre la réalité.
« Pourquoi apprendre à faire des fractions ? J'ai une calculatrice ! » C'est vrai — mais une calculatrice donne une réponse sans expliquer ce qu'elle veut dire. Comprendre les fractions permet de saisir les quantités et les relations entre elles. Et les fractions sont partout autour de nous.
Une recette demande \(\dfrac{1}{2}\) tasse de lait ou \(\dfrac{3}{4}\) de tasse de farine. Si vous voulez doubler la recette, vous devez multiplier les quantités par 2 — c'est là qu'interviennent les opérations avec les fractions.
Une demi-heure correspond à \(\dfrac{1}{2}\times 60 = 30\) minutes. Un quart d'heure correspond à \(\dfrac{1}{4}\times 60 = 15\) minutes. On utilise déjà les fractions dans notre langage de tous les jours, souvent sans même y penser.
On partage une pizza, on mesure des ingrédients, on partage de l'argent, on calcule une taxe, on mesure une distance. Dans tous ces cas, on prend quelque chose qui représente un tout et on cherche à en représenter une partie — c'est exactement ce que permettent les fractions.
Une fraction est une façon de représenter une partie d'un tout à l'aide de deux nombres : \(\dfrac{a}{b}\). Le nombre du haut, \(a\), s'appelle le numérateur. Le nombre du bas, \(b\), s'appelle le dénominateur.
Règle importante : \(b \neq 0\) — on reviendra plus loin sur la raison pour laquelle on ne peut pas diviser par zéro.
Le dénominateur indique en combien de parties égales le tout est divisé; le numérateur indique combien de ces parties on prend. Une fraction est aussi une division :
$$ \frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0{,}75 $$Une même quantité peut donc être représentée de plusieurs façons — ce n'est pas seulement deux nombres l'un au-dessus de l'autre, mais une quantité, une partie d'un tout, et une division à la fois.
- Dénominateur → combien de parties égales ?
- Numérateur → combien de parties prend-on ?
Une fraction propre a un numérateur plus petit que le dénominateur (elle vaut moins que 1), par exemple \(\tfrac12\), \(\tfrac34\), \(\tfrac58\). Une fraction impropre a un numérateur plus grand ou égal au dénominateur (elle vaut 1 ou plus), par exemple \(\tfrac54\), \(\tfrac73\), \(\tfrac{10}{10}\).
Un nombre mixte combine un entier et une fraction, par exemple \(2\tfrac13 = 2 + \tfrac13\). Pour le convertir en fraction impropre : on multiplie l'entier par le dénominateur, on ajoute le numérateur, et on garde le même dénominateur.
$$ 2 \times 3 = 6, \quad 6+1=7 \ \Rightarrow\ 2\tfrac{1}{3} = \frac{7}{3} $$Une fraction n'est pas nécessairement entre 0 et 1 ! \(\tfrac12\) l'est, mais \(\tfrac54 > 1\). Une fraction peut représenter une quantité plus petite que 1, égale à 1, ou plus grande que 1.
On pourrait penser que \(\tfrac15\) est plus grand que \(\tfrac12\) parce que 5 > 2 — mais c'est l'inverse : \(\tfrac12 > \tfrac13 > \tfrac15\). Plus on divise un tout en morceaux, plus chaque morceau devient petit.
Deux fractions sont équivalentes lorsqu'elles ont une apparence différente mais représentent exactement la même quantité : \(\tfrac12 = \tfrac24 = \tfrac36 = \tfrac48\).
Pour obtenir une fraction équivalente, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre, puisque \(\tfrac{k}{k}=1\) et que multiplier par 1 ne change pas la valeur :
$$ \frac{2}{3} \times \frac{2}{2} = \frac{4}{6} $$Une fraction irréductible est une fraction qu'on ne peut plus simplifier en divisant son numérateur et son dénominateur par un même nombre entier supérieur à 1.
Par exemple, \(\tfrac68\) n'est pas irréductible : 6 et 8 sont tous deux divisibles par 2, donc \(\tfrac68 = \tfrac{6\div2}{8\div2} = \tfrac34\), et \(\tfrac34\) est irréductible.
Prenons \(\tfrac13\). En décimale : \(1 \div 3 = 0{,}3333\ldots\), un 3 qui se répète indéfiniment. La fraction \(\tfrac13\) est exacte et plus simple. Preuve : \(\tfrac13+\tfrac13+\tfrac13=1\) exactement, alors que \(0{,}33+0{,}33+0{,}33=0{,}99\) — l'arrondi fait perdre la précision. Les fractions représentent exactement certaines quantités, même lorsque leur écriture décimale est compliquée ou infinie.
Une fraction est aussi une division : \(\tfrac{a}{b} = a \div b\). Prenons \(6 \div 2\) : « combien de groupes de 2 peut-on faire avec 6 ? » La réponse est 3, puisque \(2\times3=6\). Mais \(6 \div 0\) demanderait « combien de groupes de 0 faut-il pour obtenir 6 ? » — et peu importe le nombre choisi, \(\text{nombre} \times 0 = 0\), jamais 6. Il n'existe donc aucun nombre \(x\) tel que \(x \times 0 = 6\).
Diviser par zéro ne donne pas 0. La division n'est tout simplement pas définie.
Si vous voulez partager les 10 $ entre zéro personne, la situation n'a tout simplement pas de sens : il n'y a personne avec qui partager l'argent. Le dénominateur ne peut jamais être zéro — jamais. Si un calcul vous y amène un jour, ce n'est pas que les mathématiques cessent de fonctionner : c'est le signal qu'il faut revenir en arrière et trouver l'erreur.
- Ce qu'est une fraction, et ce que sont le numérateur et le dénominateur.
- La différence entre une fraction propre et une fraction impropre.
- Ce qu'est un nombre mixte et comment le convertir.
- Pourquoi un dénominateur plus grand donne des morceaux plus petits.
- Ce que sont les fractions équivalentes et irréductibles.
- Pourquoi certaines fractions sont plus précises que leur écriture décimale.
- Pourquoi on ne peut jamais diviser par zéro.
Dans la prochaine partie, on va commencer à travailler avec les fractions :
« Les fractions ne sont pas seulement des nombres écrits l'un au-dessus de l'autre.
Elles permettent de représenter précisément des quantités et des relations entre elles. »