Un nombre rationnel est un nombre qui peut être représenté sous la forme d'une fraction :
$$ \frac{a}{b} $$où \(a\) et \(b\) sont des nombres entiers et où \(b \neq 0\).
On définit donc l'ensemble des nombres rationnels, noté \(\mathbb{Q}\), par :
$$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \;\middle|\; a, b \in \mathbb{Z},\ b \neq 0 \right\} $$Le symbole \(\mathbb{Q}\) vient du mot quotient, puisqu'un nombre rationnel peut toujours être exprimé comme le quotient de deux nombres entiers. Les fractions sont donc une façon fondamentale de représenter les nombres rationnels.
Une fraction comme \(\dfrac{3}{4}\) peut représenter une partie d'un tout, une division, ou simplement un nombre :
$$ \frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0{,}75 $$Ces trois écritures représentent exactement la même quantité — c'est cette équivalence que l'outil ci-dessous permet d'explorer.
Dès qu'une quantité doit être partagée, comparée ou exprimée « en partie » plutôt qu'en tout, les nombres entiers ne suffisent plus. Une pizza coupée en parts, un salaire versé à l'heure, une remise sur un prix : dans chacun de ces cas, on a besoin d'un nombre qui se situe entre deux entiers. Les nombres rationnels — et les fractions qui les représentent — sont l'outil qui permet de nommer et de manipuler ces quantités avec précision, que ce soit sous forme de fraction, de division ou de nombre décimal.
Étudier \(\mathbb{Q}\), c'est se donner les moyens de travailler avec des quantités qui ne sont pas des nombres entiers, tout en gardant un lien exact et non approximatif avec ces quantités.
Ce chapitre se divise en quatre grandes notions. La première — les fractions — est développée ici; les trois suivantes seront ajoutées au fil du cours.
Cette section présente les concepts fondamentaux nécessaires pour comprendre les fractions :
- leur histoire;
- leur définition;
- le numérateur;
- le dénominateur;
- les différents types de fractions;
- les fractions équivalentes;
- les fractions irréductibles.
Nous apprendrons notamment à additionner, soustraire, multiplier et diviser des fractions, ainsi qu'à les mettre sur un même dénominateur lorsque c'est nécessaire.
Cette section sera ajoutée prochainement.
Nous étudierons le lien entre les fractions et les nombres décimaux : les nombres décimaux terminants, les nombres décimaux périodiques, ainsi que la conversion d'une fraction en nombre décimal et vice-versa.
Cette section sera ajoutée prochainement.
Les fractions permettent également de comprendre les proportions, les taux et les pourcentages. Par exemple :
$$ \frac{25}{100} = 25\% $$Les fractions constituent donc une base importante pour comprendre les pourcentages et les proportions.
Cette section sera complétée prochainement.
Une des idées les plus importantes à retenir est qu'une fraction n'est pas simplement deux nombres placés l'un au-dessus de l'autre : elle représente une quantité.
Considérons \(\dfrac{1}{2}\). Cette fraction peut représenter la moitié d'une pizza, la moitié d'une heure, la moitié d'un dollar, la moitié d'une longueur — la moitié de n'importe quelle quantité. Le contexte change, mais la relation mathématique reste la même.
- Un nombre rationnel s'écrit \(\dfrac{a}{b}\), avec \(a, b \in \mathbb{Z}\) et \(b \neq 0\).
- Le symbole \(\mathbb{Q}\) vient de « quotient » : toute fraction est aussi une division.
- Une fraction, une division et un nombre décimal peuvent représenter exactement la même quantité.
- Les proportions et les pourcentages sont une application directe des fractions (ex. 25/100 = 25 %).
- Une fraction représente toujours une quantité — le contexte change, la relation mathématique reste la même.
Si vous débutez avec les nombres rationnels, commencez par les fractions.