Pourquoi parler de fonctions ?
Une fonction est un outil pour décrire une dépendance : une quantité varie et une autre quantité lui est associée. En MAT-4151-1, l’objectif n’est pas seulement de manipuler des formules : il faut pouvoir lire, construire, comparer et interpréter une fonction dans différentes représentations.
- Reconnaître une fonction à partir d'une situation, d'un tableau, d'une règle ou d'un graphique.
- Distinguer variable indépendante, variable dépendante, domaine et image.
- Passer d'une représentation à une autre sans perdre le sens des unités.
- Choisir une famille de fonctions pertinente pour modéliser une situation.
Une histoire sans anachronisme
Le langage moderne des fonctions est le résultat d'une longue évolution. Des mathématiques anciennes contenaient déjà des tableaux, des relations entre grandeurs et des procédures algorithmiques, mais il faut éviter de leur attribuer rétroactivement le concept moderne de fonction.
Mésopotamie : tables et procédures
Les mathématiciens babyloniens utilisaient une numération positionnelle de base 60 et produisaient des tables numériques, notamment de carrés, cubes et inverses. Ces tables peuvent être interprétées aujourd'hui comme des correspondances entrée-sortie, sans pour autant dire qu'elles étaient des « fonctions » au sens moderne.
Antiquité grecque : rapports, courbes et astronomie
Les rapports, proportions, constructions géométriques et tables astronomiques ont contribué à relier quantités et variations. Les travaux astronomiques de Ptolémée offrent des exemples de correspondances numériques, mais leur cadre conceptuel diffère encore de celui des fonctions modernes.
Al-Khwarizmi : naissance d'une méthode algébrique systématique
Au IXe siècle, Al-Khwarizmi décrit des méthodes générales pour résoudre des équations linéaires et quadratiques. Son algèbre est principalement rhétorique : il écrit les raisonnements avec des mots plutôt qu'avec notre notation symbolique. Cette étape est fondamentale pour l'histoire de l'algèbre et prépare le terrain à la modélisation.
Descartes et Fermat : une équation peut décrire une courbe
Au XVIIe siècle, la géométrie analytique établit un lien profond entre expressions algébriques et figures géométriques. Une équation permet de décrire un ensemble de points du plan; réciproquement, une courbe peut être étudiée à l'aide de coordonnées et d'équations.
Euler : le langage des fonctions se systématise
Euler joue un rôle majeur dans la diffusion du concept de fonction et de sa notation. MacTutor documente chez Euler un usage de \(f(x)\) dès 1734. En 1748 puis 1755, Euler développe une présentation plus systématique du concept. Il est donc plus juste de dire qu'il systématise et popularise le langage des fonctions que de dire qu'il l'a « inventé ».
XIXe siècle et après : vers une définition plus générale
Avec Cauchy, Fourier, Dirichlet et d'autres, le concept se détache progressivement d'une simple formule : une fonction peut être définie de façon différente sur différentes parties de son domaine. Cette évolution explique pourquoi aujourd'hui une fonction peut être présentée par un tableau, une courbe, plusieurs règles ou une relation abstraite.
Relation et fonction
Une relation associe des éléments. Une fonction est une relation dans laquelle chaque entrée admissible possède exactement une sortie.
Plusieurs entrées peuvent avoir la même sortie. Ce qui est impossible, c'est qu'une même entrée possède deux sorties différentes.
Une règle comme « prendre la racine carrée » n'est pas automatiquement une fonction sur tous les réels : le domaine doit être précisé. De même, un graphique peut représenter une relation qui n'est pas une fonction.
Avant de parler de fonctions, il faut comprendre ce qu'est une relation entre deux quantités : une variable indépendante (celle qu'on choisit) et une variable dépendante (celle qui en résulte).
Les mathématiques ont développé la notion de fonction pour répondre à un besoin concret : décrire comment une quantité varie en fonction d'une autre.
- Télécommunications
- Économie
- Informatique
- Physique
- Ingénierie
- Statistiques
- Modélisation
- Intelligence artificielle
Nous verrons comment passer d'une situation réelle à une fonction mathématique.
Les quatre représentations fondamentales
| Représentation | Exemple | Question utile |
|---|---|---|
| Verbale | « Le coût dépend du nombre d'heures. » | Que dépend de quoi ? |
| Table | Couples \((x,f(x))\) | Quelle sortie obtient-on pour telle entrée ? |
| Algébrique | \(f(x)=2x+5\) | Comment calculer toute valeur admissible ? |
| Graphique | Ensemble de points \((x,f(x))\) | Quelle tendance, quels intercepts, quels extrêmes ? |
Une modélisation solide circule entre ces représentations. Une représentation peut être plus efficace qu'une autre selon la question posée.
Passer d'une situation à une fonction
Situation : une station de location demande 12 \$ de frais fixes et 4 \$ par heure. On note \(x\) le nombre d'heures et \(C(x)\) le coût en dollars.
- 01Identifier la variable indépendante.
Le nombre d'heures \(x\) est choisi par le client : c'est l'entrée. - 02Identifier la variable dépendante.
Le coût dépend de la durée : c'est \(C(x)\). - 03Construire la règle.
Frais fixes de 12 $ + 4 $ par heure : \(C(x)=12+4x\). - 04Respecter le domaine contextuel.
On ne peut pas louer pour \(-2\) heures. Ici, \(x\ge0\), et si l'entreprise facture à l'heure entière, le domaine peut être discret. - 05Vérifier une valeur.
Pour 3 heures : \(C(3)=12+4(3)=24\). La valeur est positive et l'unité est cohérente : 24 $.
Écrire les unités lors de la modélisation aide à détecter les erreurs de sens. Une formule correcte algébriquement peut être absurde dans le contexte si les unités ou les contraintes sont ignorées.
Tester si un graphique représente une fonction
Le test de la droite verticale permet de vérifier rapidement si un graphique représente \(y=f(x)\) : une droite verticale ne doit jamais couper la courbe en plus d'un point.