Les jeux de hasard constituent un laboratoire naturel pour comprendre les probabilités. Un jeu de cartes, une paire de dés ou une roulette permet de poser exactement les mêmes questions que dans de nombreuses situations réelles : quelles sont les issues possibles? Quelle est la probabilité d'un événement? Un jeu est-il équitable? Et que se passe-t-il lorsqu'on répète l'expérience un grand nombre de fois?
L'objectif ici n'est pas d'encourager le jeu d'argent. Les exemples de roulette, de blackjack et de loterie servent à montrer comment les mathématiques permettent de mesurer un risque et de reconnaître l'avantage d'une maison de jeu.
Pour un dé équilibré : \(P(\text{pair}) = \tfrac36 = \tfrac12 = 50\%\). Pour deux dés dont on additionne les résultats, il existe \(6\times6=36\) couples possibles. La somme 7 a 6 façons de sortir — (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) — donc \(P(7)=\tfrac6{36}\approx16{,}7\%\), alors qu'une somme de 2 n'a qu'une seule façon : \(P(2)=\tfrac1{36}\approx2{,}8\%\). Les sommes vont toutes de 2 à 12, mais elles ne sont pas équiprobables.
| Somme | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Nb. de façons | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
7 est la somme la plus probable — c'est pour cela qu'elle joue un rôle central dans plusieurs jeux de dés.
Un paquet standard contient \(4 \text{ couleurs} \times 13 \text{ valeurs} = 52\) cartes.
On tire deux cartes successivement, sans remise. Probabilité d'obtenir deux as :
$$P(A_1)=\frac4{52}, \qquad P(A_2\mid A_1)=\frac3{51}$$ $$P(\text{deux as}) = \frac4{52}\times\frac3{51} = \frac1{221} \approx 0{,}45\%$$La probabilité du deuxième tirage a changé parce que la première carte n'a pas été remise dans le paquet.
Une main de 5 cartes parmi 52 : \(C_{52}^5 = 2\,598\,960\) mains possibles.
| Main | Probabilité |
|---|---|
| Une paire | ≈ 42,26% |
| Un carré (4 cartes de même valeur) | ≈ 0,0240% (environ 1 chance sur 416) |
Un blackjack naturel (un as + une carte de valeur 10) : avec 4 as et 16 cartes de valeur 10,
$$P(\text{blackjack naturel}) = \frac{2(4)(16)}{C_{52}^2} = \frac{128}{1326} \approx 9{,}65\%$$Miser 1$ sur un numéro précis : \(P(\text{gagner})=\tfrac1{37}\approx2{,}70\%\). Si le gain net est 35$ en cas de succès et la perte 1$ sinon :
$$E(X) = 35\left(\frac1{37}\right) - 1\left(\frac{36}{37}\right) = -\frac1{37} \approx -0{,}027\ \$$$En moyenne, le joueur perd environ 2,7 cents par dollar misé sur ce pari — c'est l'avantage de la maison.
Choisir 6 numéros parmi 49 : \(C_{49}^6 = 13\,983\,816\) combinaisons. \(P(\text{6 bons numéros}) \approx 0{,}00000715\%\). Une probabilité très petite n'est pas une impossibilité : elle décrit simplement un événement extrêmement rare.
Dans un groupe de personnes, quelle est la probabilité qu'au moins deux personnes aient la même date d'anniversaire? Il est plus facile de calculer l'événement contraire : que personne ne partage son anniversaire.
$$P(\text{tous différents}) = \frac{365}{365}\cdot\frac{364}{365}\cdot\frac{363}{365}\cdots\frac{365-n+1}{365}$$Trois portes. Derrière une porte se trouve un prix, derrière les deux autres, rien. Tu choisis une porte. L'animateur, qui connaît l'emplacement du prix, ouvre ensuite une autre porte qui ne contient pas le prix, et te demande si tu veux rester ou changer de porte.
Il est tentant de penser qu'il reste deux portes, donc une chance sur deux. Pourtant, si l'animateur respecte toujours ces règles, changer de porte donne une probabilité de gain de \(\tfrac23\), alors que rester donne seulement \(\tfrac13\). L'animateur sait où se trouve le prix et choisit volontairement une porte perdante — son choix n'est pas neutre.
Supposons un jeu où l'on paie 2$ pour participer. On lance un dé : si on obtient 6, on reçoit 10$; sinon, rien. Le gain net est de 8$ en cas de 6 et de \(-2\)$ sinon.
$$E(X) = 8\left(\frac16\right) - 2\left(\frac56\right) = -\frac13\ \$$$Le joueur perd donc en moyenne environ 0,33$ par partie. Pour rendre le jeu équitable, on cherche le gain net \(x\) qui annule l'espérance :
$$x\left(\frac16\right) - 2\left(\frac56\right) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 10$$Le gain net devrait donc être de 10$ (pas 8$) lorsque le joueur obtient un 6, pour que le jeu soit parfaitement équitable.
Avant de participer à un jeu de hasard, la bonne question n'est pas seulement « est-ce que je peux gagner? », mais plutôt : « quelle est la probabilité de gagner, combien puis-je gagner ou perdre, et quelle est l'espérance du jeu? » Les probabilités ne permettent pas de prédire le résultat d'un lancer particulier — elles permettent de comprendre le comportement moyen d'un grand nombre d'expériences.
Lorsqu'une expérience est facile à décrire mais difficile à répéter physiquement des milliers de fois, on peut la simuler par ordinateur — exactement ce que fait le simulateur de dés plus haut sur cette page. Cette approche, appelée méthode de Monte-Carlo, est utilisée en finance, en physique et en intelligence artificielle pour approximer des probabilités trop complexes à calculer directement.
Peu importe la méthode — calcul direct, diagramme en arbre ou simulation — toutes les approches doivent converger vers la même probabilité, comme l'a démontré Bernoulli avec sa loi des grands nombres. Ces outils, nés d'un problème de dés au 17e siècle, sont aujourd'hui au cœur de disciplines aussi variées que l'assurance, la médecine et l'intelligence artificielle.
Ce second chapitre t'a fait passer du dénombrement méthodique — permutations, arrangements, combinaisons — au calcul rigoureux de probabilités, qu'elles soient discrètes ou continues. En refermant ce cahier, prends un instant pour repenser au fil qui relie chacune de ses pages : des scribes comptant des récoltes, un marchand londonien analysant des registres de décès, un ingénieur écossais inventant le premier graphique à bandes, deux mathématiciens français réglant une dispute de jeu par lettre, jusqu'à toi, aujourd'hui, capable de lire un diagramme de quartiles ou de calculer la probabilité d'un événement de la vie courante. La statistique et les probabilités sont des outils vivants, construits collectivement au fil des siècles pour mieux comprendre un monde rempli d'incertitude.