Nous voici au terme du dénombrement, avec l'outil qui donne son nom au chapitre : la probabilité elle-même. Tout ce que nous avons appris — dénombrer, compter des arrangements et des combinaisons — devient maintenant un moyen de répondre précisément à la question qui a lancé cette branche des mathématiques il y a plus de 350 ans : quelle est la chance qu'un événement précis se produise?
- Distinguer une variable aléatoire discrète d'une variable aléatoire continue.
- Calculer la probabilité d'un événement à l'aide de la définition classique (cas favorables sur cas possibles).
- Calculer une probabilité géométrique.
Une variable aléatoire dépend du résultat d'une expérience aléatoire. On distingue une variable discrète, qui ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs isolées (résultat d'un dé), d'une variable continue, qui peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle (temps d'attente, position sur une cible).
- Nombre de clients dans un magasin en une heure : discrète.
- Endroit exact où une fléchette touche une cible : continue.
- Résultat d'un dé à 6 faces : discrète.
- Temps exact d'arrivée d'un autobus : continue.
Cette distinction détermine quelle méthode utiliser : la définition classique pour le cas discret, la probabilité géométrique pour le cas continu.
Lorsque tous les résultats sont également probables :
$$P(A) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables à } A}{\text{nombre de cas possibles}}$$Une probabilité est toujours entre 0 (impossible) et 1 (certain).
Comité de 3 personnes choisies parmi 10 (dont 6 femmes et 4 hommes). Quelle est la probabilité que le comité soit entièrement féminin?
$$\text{Cas possibles} : C_{10}^3 = 120 \qquad \text{Cas favorables} : C_6^3 = 20$$ $$P(\text{comité entièrement féminin}) = \dfrac{20}{120} = \dfrac16 \approx 16{,}7\%$$Le chevalier de Méré pariait qu'en lançant un dé 4 fois, il obtiendrait au moins un 6 — il gagnait souvent. Mais en modifiant le pari (deux dés, 24 fois, au moins un double-six), il se met à perdre plus souvent. Pascal démontre que le premier pari donne environ 51,8% de chances de gagner, alors que le second donne environ 49,1% — un écart minuscule en apparence, mais suffisant, répété des centaines de fois, pour ruiner un joueur imprudent.
Lorsque les résultats possibles forment un ensemble continu (longueur, aire, volume) plutôt qu'un nombre fini de cas :
$$P(A) = \dfrac{\text{mesure de la région favorable}}{\text{mesure de la région totale}}$$Un autobus passe toutes les 15 minutes. Probabilité d'attendre moins de 5 minutes :
$$P(\text{attente} < 5) = \dfrac{5}{15} = \dfrac13 \approx 33{,}3\%$$Ici, la « mesure » est une simple longueur (intervalle de temps), plutôt qu'une aire.
Il ne faut jamais utiliser la formule classique (cas comptés un à un) pour une variable continue : il y a une infinité de valeurs possibles. Il faut passer à la mesure (longueur, aire, volume) de la région favorable et de la région totale.
Une variable aléatoire discrète se compte (dénombrement classique : cas favorables sur cas possibles), tandis qu'une variable continue se mesure (probabilité géométrique : longueur, aire ou volume favorable sur le total). La prochaine section applique ces deux méthodes à une foule de jeux de hasard — dés, cartes, poker, roulette, loterie — et à deux énigmes célèbres : le problème des anniversaires et le problème de Monty Hall.