Le premier chapitre nous a appris à décrire des données déjà recueillies. Ce second chapitre change de perspective : plutôt que de regarder vers le passé, nous allons apprendre à quantifier l'incertitude face à l'avenir. Nous commencerons par les techniques de dénombrement — des outils pour compter, souvent très rapidement, un nombre de possibilités qu'il serait autrement impossible d'énumérer une à une.
- Dénombrer les résultats possibles d'une expérience à l'aide du principe multiplicatif, d'un diagramme en arbre ou d'un tableau.
- Distinguer et calculer des permutations, des arrangements et des combinaisons.
Dénombrer, c'est compter le nombre de résultats possibles d'une expérience, sans nécessairement les énumérer un par un. Le principe multiplicatif énonce que si une première étape peut se réaliser de \(m\) façons, et qu'une seconde peut ensuite se réaliser de \(n\) façons, alors les deux étapes ensemble peuvent se réaliser de \(m \times n\) façons.
Un menu offre 4 entrées, 6 plats principaux et 3 desserts. \(4 \times 6 \times 3 = 72\) repas différents possibles.
En 1713, huit ans après sa mort, paraît l'Ars Conjectandi (« L'art de conjecturer ») du mathématicien suisse Jacob Bernoulli, premier traité rigoureux sur le dénombrement et les probabilités. Bernoulli y démontre la loi des grands nombres : plus on répète une expérience aléatoire, plus la fréquence observée se rapproche de sa probabilité théorique. Il a travaillé sur ce livre pendant plus de 20 ans sans jamais le terminer — c'est son neveu qui l'a publié après sa mort.
Une permutation est un arrangement ordonné de tous les éléments d'un ensemble : \(n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\). Par convention, \(0! = 1\).
De combien de façons 5 coureurs peuvent-ils terminer une course? \(5! = 120\) ordres d'arrivée possibles.
Un arrangement est un choix ordonné de \(r\) éléments parmi \(n\) (avec \(r \le n\)), sans répétition : \( A_n^r = \dfrac{n!}{(n-r)!} \).
8 athlètes, on attribue or/argent/bronze : \( A_8^3 = \dfrac{8!}{5!} = 8\times7\times6 = 336 \).
Une combinaison est un choix non ordonné de \(r\) éléments parmi \(n\) : \( C_n^r = \dfrac{n!}{r!(n-r)!} \). C'est un arrangement dont on a « oublié » l'ordre.
Parmi 8 employés, un comité de 3 : \( C_8^3 = \dfrac{8\times7\times6}{3\times2\times1} = 56 \) — beaucoup moins que 336, puisque l'ordre ne compte pas.
Une permutation : décider l'ordre dans lequel toute l'équipe pose pour la photo. Un arrangement : décider qui obtient les 3 sièges VIP (siège 1, 2, 3 — l'ordre compte). Une combinaison : décider quelles 3 personnes sont invitées à la fête (peu importe l'ordre d'invitation). « Tout le monde, ordre important » (permutation), « quelques-uns, ordre important » (arrangement), « quelques-uns, ordre sans importance » (combinaison).
Le test le plus fiable : demande-toi si échanger l'ordre de deux éléments choisis donnerait un résultat différent. Si oui (échanger l'or et le bronze), c'est un arrangement. Si non (échanger l'ordre de nomination de deux membres d'un comité), c'est une combinaison.
Le principe multiplicatif, le diagramme en arbre et le tableau à double entrée permettent de dénombrer les résultats possibles d'une expérience. Lorsqu'on choisit un sous-ensemble ordonné de tous les éléments disponibles, c'est une permutation (\(n!\)); lorsqu'on choisit un sous-ensemble ordonné d'une partie des éléments, c'est un arrangement (\(A_n^r\)); lorsque l'ordre du choix n'a pas d'importance, c'est une combinaison (\(C_n^r\)). Ces techniques sont le point de départ indispensable du calcul de probabilités, abordé à la section suivante.