- Calculer les quartiles et l'étendue interquartile d'une distribution.
- Construire et interpréter un diagramme de quartiles (boîte à moustaches).
La médiane divise une distribution ordonnée en deux moitiés égales. Les quartiles poussent cette idée plus loin : ils divisent la distribution en quatre parties égales, offrant un portrait beaucoup plus riche de la façon dont les données sont dispersées.
Les quartiles (\(Q_1, Q_2, Q_3\)) divisent une distribution ordonnée en quatre groupes contenant chacun environ 25% des données.
- \(Q_1\) : environ 25% des données lui sont inférieures ou égales.
- \(Q_2\) : c'est exactement la médiane.
- \(Q_3\) : environ 75% des données lui sont inférieures ou égales.
- Ordonner les données et trouver la médiane (\(Q_2\)).
- \(Q_1\) est la médiane de la moitié inférieure (sans inclure \(Q_2\) si \(n\) est impair).
- \(Q_3\) est la médiane de la moitié supérieure (sans inclure \(Q_2\) si \(n\) est impair).
L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur. L'étendue interquartile (EIQ), plus robuste, est \( \text{EIQ} = Q_3 - Q_1 \) — elle mesure la dispersion du « cœur » de la distribution, sans être influencée par les valeurs extrêmes.
Temps (en minutes) de 11 coureurs, déjà ordonnés : \(18, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 28, 30, 33, 38\)
- \(n=11\) (impair) : \(Q_2\) est la 6e valeur : \(Q_2=25\).
- Moitié inférieure : \(18,19,21,22,24\) — \(Q_1=21\).
- Moitié supérieure : \(27,28,30,33,38\) — \(Q_3=30\).
- EIQ \(=30-21=9\) minutes. Étendue totale \(=38-18=20\) minutes.
Une erreur courante consiste à inclure la médiane elle-même dans le calcul de \(Q_1\) et \(Q_3\) lorsque \(n\) est impair — sans quoi les deux moitiés n'auraient pas la même taille, ce qui fausserait le résultat.
Le diagramme de quartiles représente visuellement cinq valeurs clés : le minimum, \(Q_1\), la médiane, \(Q_3\) et le maximum. Une boîte relie \(Q_1\) à \(Q_3\), avec une ligne à la médiane; deux « moustaches » s'étendent jusqu'au minimum et au maximum.
Le diagramme de quartiles a été inventé dans les années 1970 par le statisticien américain John Tukey. On lui doit aussi la popularisation du mot « bit » et le mot « software » (logiciel). Tukey était convaincu que la meilleure façon de comprendre des données était souvent de les regarder, plutôt que de se fier uniquement à des calculs abstraits — une philosophie qu'il a nommée « analyse exploratoire des données ».
Deux groupes d'élèves (A et B) ont exactement la même moyenne à un examen : 72%. Ajuste la dispersion de chaque groupe avec les curseurs et observe leur diagramme de quartiles.
Malgré une moyenne identique, les deux groupes peuvent être en réalité très différents! Un groupe homogène a presque tous ses élèves près de la moyenne. Un groupe hétérogène a des élèves qui réussissent très bien et d'autres en grande difficulté — une information complètement invisible si on ne regarde que la moyenne! C'est exactement la leçon que Tukey voulait enseigner : deux distributions peuvent avoir la même mesure de tendance centrale tout en étant radicalement différentes.
Les quartiles divisent une distribution ordonnée en quatre groupes égaux, et l'étendue interquartile (\(Q_3-Q_1\)) mesure la dispersion du cœur des données. Le diagramme de quartiles, inventé par John Tukey, permet de visualiser d'un seul coup d'œil le minimum, les trois quartiles et le maximum — révélant parfois des différences complètement invisibles si on se fie uniquement à la moyenne. Ce chapitre t'a donné les outils pour décrire une distribution; le chapitre 2 aborde une question complémentaire : comment quantifier les chances qu'un événement particulier se produise.
Ce premier chapitre t'a fait parcourir tout le processus de la statistique descriptive : de la collecte de données par échantillonnage représentatif, à leur organisation en tableaux et histogrammes, jusqu'à leur résumé en mesures de tendance centrale et en quartiles. La leçon la plus importante à retenir est peut-être celle du groupe A et du groupe B : deux distributions peuvent sembler identiques en apparence (même moyenne) tout en étant profondément différentes une fois qu'on prend la peine de vraiment les examiner. Le chapitre 2 te donnera les outils pour aller plus loin : plutôt que de décrire des données déjà recueillies, tu apprendras à prédire et à quantifier les chances d'événements qui ne se sont pas encore produits.