- Calculer et interpréter le mode et la médiane d'une distribution.
- Calculer une moyenne pondérée.
- Choisir la mesure de tendance centrale la plus appropriée selon le contexte.
Une fois les données organisées en tableau, une question naturelle se pose : quelle est la valeur « typique » ou « centrale » de cette distribution? Les mesures de tendance centrale répondent à cette question, chacune à sa façon. Ce sont sans doute les statistiques les plus utilisées — et aussi les plus souvent mal utilisées ou mal interprétées — dans les médias et la vie courante.
Le mode est la valeur (ou catégorie) qui apparaît le plus fréquemment. C'est la seule mesure de tendance centrale calculable pour un caractère qualitatif. Une distribution peut être unimodale, bimodale, ou avoir plusieurs modes.
La médiane est la valeur qui se trouve exactement au milieu d'une distribution ordonnée : la moitié des données lui sont inférieures ou égales, l'autre moitié supérieures ou égales.
- Ordonner toutes les données en ordre croissant.
- Si n est impair, la médiane est la valeur au centre (position \(\frac{n+1}{2}\)).
- Si n est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales (positions \(\frac{n}{2}\) et \(\frac{n}{2}+1\)).
Notes (sur 10) de 7 élèves : \(6,8,7,9,6,10,7\). Ordonnées : \(6,6,7,7,8,9,10\).
- Mode : 6 et 7 apparaissent chacun deux fois — distribution bimodale.
- Médiane : \(n=7\) (impair), la médiane est la 4e valeur : \(7\).
Voici les salaires horaires de 6 employés. Ajuste le salaire du patron avec le curseur et observe comment la moyenne et la médiane réagissent différemment.
Une valeur extrême (comme le salaire du patron) fait grimper artificiellement la moyenne bien au-dessus de ce que gagne la majorité, alors que la médiane reste fidèle au salaire typique. C'est pour cette raison que les revenus, les prix de maisons ou les salaires sont presque toujours rapportés à l'aide de la médiane dans les statistiques officielles : elle résiste beaucoup mieux aux valeurs aberrantes (outliers).
Le concept de médiane est lié au théorème de l'électeur médian, en science politique : il explique pourquoi les partis politiques convergent souvent vers des positions « du centre » lors d'élections — c'est la position de l'électeur médian (et non moyen!) qui a le plus de chances de rallier une majorité.
La moyenne pondérée attribue à chaque valeur un poids (son importance relative) avant de calculer la moyenne :
$$\bar{x} = \dfrac{\sum (x_i \times p_i)}{\sum p_i}$$Lorsque tous les poids sont égaux, la moyenne pondérée redevient la moyenne arithmétique ordinaire.
Le mode (la valeur la plus fréquente), la médiane (la valeur centrale d'une distribution ordonnée) et la moyenne pondérée (qui tient compte de l'importance relative de chaque valeur) offrent chacun une façon différente de résumer une distribution en un seul nombre. La médiane résiste mieux aux valeurs extrêmes, tandis que la moyenne pondérée est essentielle lorsque toutes les valeurs n'ont pas la même importance. La section suivante introduit les quartiles, qui généralisent l'idée de la médiane pour décrire toute la dispersion d'une distribution.