Algèbre : passer du connu à l’inconnu
Bien que le mot « algèbre » puisse sembler familier, une définition moderne de cette dernière pourrait être formulée comme suit : l’algèbre est une branche des mathématiques qui s’intéresse principalement aux symboles, aux variables, aux équations, aux fonctions, aux opérations et aux structures. Une définition de ce type s’avère pratique lorsque nous décrivons l’algèbre dans un contexte moderne, mais elle peut poser certains problèmes lorsqu’elle est appliquée à l’histoire des mathématiques. En effet, aucun mathématicien ou historien des mathématiques ne peut nier l’importance du développement de cette branche au cours de l’histoire. Toutefois, si nous abordons l’algèbre uniquement comme une manipulation de variables symboliques telles que $x$, $y$ et $z$, nous risquons de négliger une grande partie de son développement historique. En contrepartie, définir l’algèbre comme l’ensemble des procédures mathématiques faisant intervenir des quantités inconnues rendrait cette définition pratiquement dépourvue de signification sur le plan historique. La présence d’une quantité inconnue dans un problème mathématique ne constitue pas, à elle seule, un critère permettant de déterminer si une méthode peut être qualifiée d’algébrique. D’un point de vue historique, l’absence d’une notation symbolique ne signifie nullement que l’auteur était incapable de raisonner sur des quantités inconnues ou de résoudre des problèmes qui, aujourd’hui, seraient formulés à l’aide d’une équation quadratique.
Plutôt que de procéder exclusivement du connu vers l’inconnu par une succession de déductions directes, le raisonnement algébrique permet d’inverser cette démarche. À partir des relations liant les quantités connues et inconnues, il est possible de remonter à l’inconnu pour déterminer les valeurs recherchées. Cette capacité à raisonner sur une quantité inconnue et à la retrouver à partir des relations qui la déterminent constitue l’une des caractéristiques fondamentales du raisonnement algébrique.
L’algèbre est une branche fondamentale des mathématiques qui dépasse le cadre de l’arithmétique élémentaire en fournissant une méthode structurée permettant d’analyser les relations entre les nombres et les symboles au moyen d’opérations et de postulats définis. Tirant son origine d’un terme arabe, l’algèbre constitue non seulement un cadre théorique, mais également un outil pratique utilisé dans de nombreux domaines, notamment les sciences, l’ingénierie et les technologies.
L’algèbre est aujourd’hui essentielle dans de nombreux domaines :
Sciences
Modéliser des phénomènes et exprimer des relations entre grandeurs.
Ingénierie
Construire des modèles et résoudre des problèmes techniques.
Informatique
Décrire des procédures, des données et des relations logiques.
Économie et statistiques
Analyser des relations entre variables et construire des modèles.
Supposons qu’un nombre inconnu augmenté de 5 donne 12. Aujourd’hui, nous pouvons traduire immédiatement la situation par :
La résolution permet alors de retrouver la valeur inconnue :
Dans ce cours, nous commencerons par des équations à une seule variable. Les systèmes et les problèmes plus complexes seront abordés dans des cours plus avancés.
Un peu d’histoire
Où l’algèbre est-elle née ? La réponse est beaucoup plus intéressante qu’on pourrait le croire.
La transition des concepts concrets de l’arithmétique vers les équations, Des équations vers les identités symboliques, puis de celles-ci vers les structures abstraites de l’algèbre ne furent ni instantanées ni inévitables. Elle s’est construite progressivement, à travers les échanges entre différentes cultures, la curiosité intellectuelle et la recherche de solutions à des problèmes issus notamment de l’astronomie et de la philosophie, mais aussi des besoins pratiques liés au commerce. La circulation des connaissances et des idées entre différentes traditions mathématiques a ainsi contribué, de manière successive, à la transformation des méthodes de calcul en un langage symbolique, puis en une discipline mathématique de plus en plus abstraite.
Notre parcours dans le passé commence en Mésopotamie, sur les rives du Tigre et de l’Euphrate, où les tablettes babyloniennes constituent parmi les plus anciens témoignages connus de méthodes permettant de déterminer des quantités inconnues. Nous nous tournerons ensuite vers l’Égypte et la Grèce, où l’arithmétique, la géométrie, les rapports et les problèmes numériques prirent des formes particulièrement élaborées. Le parcours se poursuivra en Inde, où plusieurs innovations fondamentales transformèrent progressivement les possibilités du calcul, notamment la conception du zéro comme nombre, l’utilisation des quantités négatives, le développement d’une notation positionnelle et l’évolution des méthodes permettant de traiter les quantités inconnues.
Durant le Moyen Âge, le monde islamique devint à son tour un centre majeur de production, de transmission et de transformation des connaissances mathématiques. C’est dans ce contexte que l’algèbre fut progressivement constituée comme une discipline distincte, notamment à travers les travaux d’al-Khwarizmi, dont les méthodes contribuèrent à établir un cadre systématique pour la résolution des équations.
À partir de la Renaissance européenne, les mathématiques connurent de nouvelles transformations. Les méthodes algébriques se développèrent parallèlement à l’essor d’une notation symbolique, permettant de manipuler les expressions et les équations de manière plus générale. Cette évolution se poursuivit au cours des siècles suivants, jusqu’à ce que, durant le 19e siècle, l’algèbre commence à prendre une forme qui se rapproche davantage de sa conception moderne. L’objet de l’algèbre s’élargit alors progressivement au-delà de la résolution d’équations pour inclure l’étude de structures telles que les permutations, les groupes, les corps et les matrices.
« J’ai un nombre. Si je lui ajoute une certaine quantité, j’obtiens un autre nombre. Quelle était la valeur de départ ? »
Aujourd’hui, nous écririons une équation avec une inconnue. Les mathématiciens de l’Antiquité ne disposaient toutefois pas encore de la notation symbolique \(x\) que nous utilisons aujourd’hui.
Ils devaient décrire les problèmes avec des mots, des nombres, des tableaux ou des figures géométriques. Il est donc plus juste de parler des premières formes de raisonnement algébrique que de chercher un seul endroit où « l’algèbre » aurait été inventée.
Des problèmes numériques correspondent à ce que nous appelons aujourd’hui des équations.
Le papyrus Rhind contient des problèmes où une quantité inconnue doit être déterminée.
Des traditions différentes développent des raisonnements géométriques, numériques et des méthodes pour plusieurs inconnues.
Les méthodes algébriques sont systématisées et présentées pour des familles de problèmes.
Les premières traces : la Mésopotamie
Parmi les plus anciennes traces connues de raisonnement de type algébrique se trouvent les mathématiques de la Mésopotamie, notamment celles de la civilisation babylonienne.
Dès environ 1900 av. J.-C., les Babyloniens résolvaient déjà des problèmes qui correspondent à ce que nous appelons aujourd’hui des équations. Ils pouvaient chercher une quantité inconnue à partir de relations entre différentes quantités.
Un problème pouvait correspondre à une relation telle que :
Les Babyloniens n’écrivaient évidemment pas le problème sous cette forme. Ils le décrivaient plutôt avec du texte et appliquaient des procédures permettant de trouver la quantité recherchée.
Partir de ce que l’on connaît pour retrouver ce que l’on ne connaît pas. Cette idée est l’une des bases du raisonnement algébrique.
L’Égypte ancienne
Quelques siècles plus tard, les mathématiques égyptiennes présentent elles aussi des méthodes permettant de déterminer des quantités inconnues.
Le célèbre papyrus Rhind, rédigé vers 1650 av. J.-C., contient notamment des problèmes où une quantité inconnue doit être déterminée à partir d’une relation donnée.
Les Égyptiens utilisaient notamment une méthode parfois appelée méthode de la fausse position. On partait d’une valeur supposée, puis on l’ajustait jusqu’à obtenir la valeur recherchée.
Il ne s’agissait pas encore de l’algèbre symbolique moderne. Cependant, la logique est déjà très proche de celle que nous utilisons lorsque nous cherchons une inconnue.
Il faut éviter de dire que les Égyptiens écrivaient des équations avec \(x\). La notation symbolique moderne est beaucoup plus tardive. Ce qui existait déjà était le raisonnement permettant de déterminer une quantité inconnue.
La Grèce : quand l’algèbre devient géométrique
Les mathématiques grecques ont suivi une voie quelque peu différente. Plutôt que de représenter principalement les relations par des procédures numériques, les mathématiciens grecs ont développé une approche profondément liée à la géométrie.
Des relations qui pourraient aujourd’hui être écrites avec des équations étaient parfois représentées à l’aide de longueurs, d’aires et de figures géométriques.
Aujourd’hui, nous pouvons écrire :
Cette expression peut être interprétée géométriquement comme l’aire d’un carré dont le côté mesure \(a\).
Cette façon de penser aura une influence considérable sur le développement ultérieur de l’algèbre. Elle rappelle que les mathématiques ne sont pas seulement une collection de symboles : derrière une équation peut se cacher une idée géométrique très concrète.
L’Inde : vers une algèbre plus symbolique
Les mathématiques indiennes ont également joué un rôle majeur dans l’évolution de l’algèbre.
Au fil des siècles, les mathématiciens indiens ont développé des méthodes pour travailler avec les nombres positifs et négatifs, les équations et les quantités inconnues.
Ils ont également contribué au développement du système de numération décimale et à l’utilisation du zéro, qui deviendra fondamentale pour les mathématiques modernes.
L’utilisation efficace du système décimal et du zéro permet de représenter et d’effectuer les calculs de manière beaucoup plus efficace, ouvrant la voie à une algèbre de plus en plus symbolique.
La Chine : résoudre plusieurs inconnues
Dans la Chine ancienne, les mathématiciens ont développé leurs propres méthodes pour résoudre des problèmes comportant plusieurs quantités inconnues.
Certaines méthodes chinoises permettaient déjà de traiter des problèmes qui correspondent, dans notre notation moderne, à des systèmes d’équations.
Par exemple, aujourd’hui, nous pourrions écrire :
Les mathématiciens chinois ne disposaient évidemment pas de cette notation moderne, mais ils avaient développé des procédures permettant de manipuler plusieurs quantités et de déterminer les valeurs recherchées.
Plusieurs chemins vers une même idée
L’algèbre n’est pas née en un seul endroit.
La Mésopotamie, l’Égypte, la Grèce, l’Inde et la Chine ont développé, à différentes époques et avec différentes méthodes, des idées qui ressemblent à ce que nous appelons aujourd’hui l’algèbre.
| Tradition | Contribution ou approche présentée dans le cours |
|---|---|
| Babyloniens | Procédures numériques permettant de résoudre des problèmes et de retrouver des quantités inconnues. |
| Égyptiens | Méthodes pratiques pour déterminer des quantités inconnues, notamment la fausse position. |
| Grecs | Raisonnements fortement liés à la géométrie, aux longueurs et aux aires. |
| Indiens | Développement des nombres, du zéro et de méthodes algébriques. |
| Chinois | Méthodes efficaces pour résoudre des problèmes comportant plusieurs inconnues. |
L’algèbre moderne n’est pas apparue soudainement. Pendant des milliers d’années, les mathématiciens ont développé différentes façons de répondre à une même question fondamentale : « Que vaut la quantité que je ne connais pas ? »
Derrière ce petit \(x\) se trouvent donc des milliers d’années de recherche mathématique.
Al-Khwarizmi et la naissance de l’algèbre moderne
Si des formes de raisonnement algébrique existaient déjà dans plusieurs grandes civilisations, pourquoi l’histoire de l’algèbre est-elle si souvent associée au nom d’al-Khwarizmi ?
Pour comprendre son importance, il faut remonter au IXe siècle, dans le monde islamique. À cette époque, des centres intellectuels importants réunissent des connaissances provenant de plusieurs traditions mathématiques, notamment de la Grèce, de la Perse et de l’Inde.
Ces connaissances sont traduites, étudiées, comparées et développées. C’est dans cet environnement scientifique que travaille le mathématicien persan Abū Jaʿfar Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī, généralement appelé al-Khwarizmi en français.
Al-Khwarizmi n’a donc pas inventé l’algèbre à partir de rien. Sa contribution est plutôt d’avoir organisé et systématisé différentes méthodes de résolution, en les présentant de façon suffisamment générale pour qu’elles puissent être appliquées à toute une famille de problèmes.
Un livre consacré aux équations
Vers 820, al-Khwarizmi rédige un ouvrage dont le titre est généralement translittéré :
Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala
On peut traduire approximativement ce titre par « Le livre abrégé du calcul par la restauration et la comparaison ».
Derrière ce titre se trouve une idée particulièrement importante : présenter des méthodes permettant de résoudre systématiquement différents types de problèmes et d’équations.
Pour nous, un problème peut être écrit :
Al-Khwarizmi ne disposait pas encore de notre notation symbolique. Il décrivait principalement les problèmes avec des mots et présentait les étapes nécessaires pour parvenir à leur solution.
Partir du connu pour retrouver l’inconnu.
D’où vient le mot « algèbre » ?
Le titre de l’ouvrage d’al-Khwarizmi contient un mot qui allait traverser les siècles :
Le terme arabe al-jabr peut être traduit approximativement par restauration, réunion ou reconstitution. Dans le contexte mathématique de l’époque, il désigne notamment une opération permettant de transformer une équation en rétablissant certains termes afin d’obtenir une forme plus pratique à résoudre.
Imaginons l’équation :
Nous pouvons ajouter \(5x\) aux deux membres :
Nous modifions ainsi l’équation tout en conservant son égalité afin de la rendre plus facile à résoudre.
C’est de ce terme al-jabr que vient progressivement notre mot algèbre.
Une algèbre encore écrite avec des mots
Il est important de ne pas imaginer le livre d’al-Khwarizmi comme un manuel d’algèbre moderne rempli de \(x\), \(y\), \(+\) et \(=\).
La notation symbolique que nous utilisons aujourd’hui s’est développée beaucoup plus tard. Les problèmes étaient principalement formulés en langage naturel.
Une expression moderne comme
aurait été décrite avec des mots plutôt qu’avec cette courte suite de symboles.
Cela peut nous sembler moins efficace, mais les méthodes de résolution étaient déjà suffisamment structurées pour permettre de traiter des catégories entières de problèmes.
On ne cherche plus seulement à résoudre un problème particulier, mais à comprendre comment résoudre systématiquement des problèmes du même type.
L’une des grandes forces des mathématiques est de passer d’un problème particulier à une méthode générale.
En algèbre, nous ne voulons pas seulement savoir que \(x+5=12\) donne \(x=7\). Nous voulons comprendre la méthode qui nous permettra de résoudre également :
Du nom d’al-Khwarizmi au mot « algorithme »
L’héritage d’al-Khwarizmi ne se limite toutefois pas au mot « algèbre ». Son propre nom est également à l’origine d’un autre mot que nous utilisons constamment aujourd’hui :
Lorsque les travaux d’al-Khwarizmi ont été traduits en latin au Moyen Âge, son nom a notamment été latinisé sous la forme Algoritmi. Au fil du temps, cette forme a été associée aux méthodes de calcul et aux procédures systématiques, donnant progressivement naissance au terme « algorithme ».
Aujourd’hui, un algorithme désigne une suite d’étapes définies permettant de résoudre un problème ou d’effectuer une tâche.
En réalité, nous utilisons des algorithmes beaucoup plus souvent que nous le pensons.
Pour effectuer l’addition :
nous suivons une procédure précise : nous additionnons les unités, puis les dizaines et effectuons une retenue lorsque cela est nécessaire. Cette procédure est déjà une forme très simple d’algorithme.
Considérons :
Nous pouvons appliquer successivement des opérations :
Nous suivons donc une série d’étapes qui transforme progressivement le problème initial jusqu’à obtenir sa solution.
Pourquoi al-Khwarizmi est-il si important ?
L’importance d’al-Khwarizmi ne vient donc pas du fait qu’il aurait été le premier mathématicien à résoudre des problèmes algébriques. Comme nous l’avons vu, ces méthodes sont beaucoup plus anciennes et proviennent de plusieurs civilisations.
Son importance réside plutôt dans la systématisation et la transmission de méthodes générales. Son ouvrage contribue à faire de la résolution des équations une discipline organisée, fondée sur des procédures que l’on peut appliquer à différents problèmes.
Ne pas seulement résoudre un problème, mais comprendre comment résoudre une famille de problèmes.
De l’Orient vers l’Europe
Les idées mathématiques ne sont toutefois pas restées limitées au monde islamique. Au cours des siècles suivants, les ouvrages mathématiques arabes sont progressivement traduits en latin et commencent à circuler dans les centres d’enseignement européens.
Cette transmission permet notamment à l’Europe de découvrir ou de redécouvrir des connaissances provenant de plusieurs traditions mathématiques. Les méthodes grecques, indiennes, perses et arabes vont ainsi contribuer, de différentes façons, au développement des mathématiques européennes.
Le système de numération indo-arabe et le zéro joueront également un rôle essentiel dans cette transformation. Des mathématiciens européens, notamment Fibonacci, contribueront à leur diffusion à partir du Moyen Âge.
Il serait trompeur de représenter cette histoire comme une simple ligne droite allant d’une civilisation à une autre. Les mathématiques se sont développées grâce à de nombreuses influences, transmissions et transformations successives.
Plusieurs civilisations → transmission des connaissances → nouvelles méthodes → algèbre moderne
L’histoire de l’algèbre ressemble donc davantage à un réseau de connaissances qu’à l’histoire d’une invention unique.
Une histoire cachée derrière deux mots
Lorsque nous utilisons aujourd’hui les mots algèbre et algorithme, nous faisons, sans nécessairement le savoir, référence à l’héritage d’un mathématicien persan du IXe siècle.
Mais ces deux mots racontent une histoire beaucoup plus grande que celle d’un seul homme. Ils témoignent d’une longue évolution des mathématiques, au cours de laquelle des mathématiciens de différentes civilisations ont cherché de meilleures façons de représenter les nombres, les inconnues et les relations entre eux.
L’algèbre que nous allons étudier dans ce cours est l’aboutissement provisoire de cette longue histoire. Les symboles sont devenus beaucoup plus simples, les méthodes beaucoup plus générales, mais la question fondamentale reste étonnamment proche de celle que se posaient déjà les mathématiciens de l’Antiquité :
« Quelle est la quantité que je ne connais pas ? »
À retenir
- L’algèbre existait sous différentes formes bien avant al-Khwarizmi.
- Des civilisations comme la Mésopotamie, l’Égypte, la Grèce, l’Inde et la Chine ont développé différentes formes de raisonnement algébrique.
- Al-Khwarizmi a joué un rôle majeur dans la systématisation des méthodes de résolution des équations.
- Le mot algèbre vient de l’arabe al-jabr.
- Le mot algorithme est issu de la latinisation du nom d’al-Khwarizmi.
- Les mathématiques modernes sont le résultat d’une longue transmission de connaissances entre plusieurs civilisations.
- L’algèbre cherche non seulement à résoudre des problèmes, mais surtout à développer des méthodes générales permettant de résoudre toute une famille de problèmes.